avec
OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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KA 1 )(X, v) = (27r)-d f a(X, Ç)b(X, Ç)ei(·vdç
lJW.d
- 2 11,. (27r)-d [ Vxa(X,Ç) · Veb(X,Ç)ei(·vdç
't
lJW.d
+ 2 11,. (27r)-d [ Vea(X, ()·V xb(X, Ç)ei(·vdç.
't
lJW.d
On remarque alors que la fonction
kn(x, y) = n,-d KA 1 > (!(x +y), k(x - y))
est le noyau de l'opérateur
Opn (ab + ~V ea · V xb - ~V xa · Veb).
Par ailleurs, au vu de (20), on a
f sup lrn(X, v) 1 dv ~ f sup IBn(X, u, u') 1 du' du ~ C,
}JW.d X EJRd
}JRd X EJRd
pour une constante C > O. De ce fait, l'opérateur de noyau
n,-drn (!(x +y), k(x -y)) est uniformément borné sur L 2 (JR.d)
par le corollaire 2.2. On déduit alors de l'équation (21) que
Opn(a) o Opn(b) = Opn( ab+~ Vea · Vxb- ~ Vxa · Veb) + O(n 2 )
dans 2(L 2 (JR.d)).
La formule sur le commutateur (16) est une conséquence du calcul
précédent. Il faut juste remarquer que les termes d'ordre 2 engendrés
par la formule de Taylor dans (18) sont symétriques en a et b. En
effet
f Bo (X,w + v/2,w -v/2)dw
lJRd
= ( 2 11"1-d L a: â~a(X, Ç) âf â~b(X, Ç) eie·v dÇ.
lal+l.81=2
Ils engendrent donc des contributions identiques dans le développement de Opn(a)Opn(b) et dans celui de Opn(b)Opn(a), lesquelles vont
s'annuler dans la formule du commutateur.
D
Dans la preuve ci-dessus, on voit qu'en poussant le développement
de Taylor quelques crans plus loin, on obtiendrait un développement
asymptotique d'ordre supérieur pour la formule de composition. On