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où
avec
CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
rn(X,v) = f Bn (X,w + v/2,-w + v/2) dw
lJRd
(27r)-2d
[ [1
Bn(X, u, u') =
2
L l12d lo uaac;a(X + shu, ()
lal+l.81=2 IR O
x (u').Ba~b(X + shu', 'fJ)eit:;·u+iTJ·u' d( d'f/ ds.
En utilisant des intégrations par parties en ( et 'f/, on obtient
1
(27r)-2d
[ [1
a
(19) Bn(X, u, u ) = -
2
L lm 2d lo at ax a(X + shu, ()
lal+l.81=2 IR O
X 8~8~b(X + shu', 'fJ)ei(·u+iTJ·u' d( d'f/dS
et on en déduit que la fonction (X, u, u') i-+ Bn(X, u, u') est uniformément bornée par-rapport à fi: il existe Co> 0 tel que
sup
IBn(X, u, u')I
(x,u,u')EJR3d
,8
:::; Co sup sup 11ac;ae a(x, •)llv(JRd) 11a<;af b(x, •)llv(JRd)·
lal+l.81=2 xeJRd
Le même argument donne :
(20) V NE N, 3CN(a, b) > O,
sup (1 + lul 2 )N (1 + lu'l 2 )NIBn(X, u, u')I :::; CN(a, b)
(x,u,u')eJR 3 d
avec
Revenons maintenant à la fonction Kn: le même type d'intégrations
par parties en ( et 'f/ et une intégration en w (qui engendre une masse
de Dirac ô(( - 'fJ)) permet d'écrire
(21)