OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
73
Il est important de remarquer que les formules de composition
restent valables si l'un des opérateurs est un opérateur différentiel à
coefficients C 00 • Nous verrons aussi dans le cours de la preuve que
l'on peut obtenir des formules asymptotiques à tout ordre en fi.
Enfin, notons qu'avec les autres choix de quantification introduits
en section 1.3, on obtient des formules du même type mais elles seront légèrement différentes. En particulier, pour la quantification classique, la formule pour l'adjoint (14) présente un développement non
trivial en fi et la formule sur le commutateur (16) présente un terme
non nul en fi 2 •
Démonstration. La relation (14) est évidente puisque le noyau de
l'opérateur Opli(a)* est la fonction (x, y) H- kli(x, y), où kli est relié à a par (7). On a alors
kli(y,x) = fi-d§ç- 1 (a)(!(x +y), -k(x -y))
= fi-d §ç-l(a:)(!(x +y), k(x - y))
où l'on a utilisé §ç- 1 (/)(v) = §ç- 1 (7)(-v). Le noyau de Opli(a)*
est ainsi égal au noyau de Opli(a) et ces deux opérateurs sont donc
égaux.
Étudions maintenant la formule de composition (15) : le noyau de
Opli(a) o Opli(b) est la fonction kli(x, y) donnée par
kli(x, y)
= (27rfi)- 2 d f a(!(x+z), ()b(!(y+z), "1)ef
Écrivons kli(x, y)= fi-d Kli((x + y)/2, (x - y)/fi) avec
Kli(X, v) = (27r)- 2 d kad a( X+~ (w + v/2), ç)b(x+~ (w - v/2), .,,)
X e-i(·(w-v/2)+i11·(w+v/2)d( d"I dw.
Une formule de Taylor à l'ordre 2 permet d'écrire
Kli(X, v) = (27r)- 2 d ~ad a(X, ()b(X, "1)e-i(·(w-v/ 2 )+i11·(w+v/ 2 )d( d'T/ dw
+ ~ 2 (27r)- 2 d f (w+v/2) · Vxa(X,()b(X,1/)
1JR.3d
(18)
X e-i(·(w-v/2)+i11·(w+v/2)d( d'T/dW
+- 2
fi(27r)- 2 d f a(X,()(w -v/2) · Vxb(X,1/)
1JR.3d
X e-i(·(w-v/2)+i11·(w+v/2)d( d'T/dW
+ fi 2 rli(X, v),
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Il est important de remarquer que les formules de composition
restent valables si l'un des opérateurs est un opérateur différentiel à
coefficients C 00 • Nous verrons aussi dans le cours de la preuve que
l'on peut obtenir des formules asymptotiques à tout ordre en fi.
Enfin, notons qu'avec les autres choix de quantification introduits
en section 1.3, on obtient des formules du même type mais elles seront légèrement différentes. En particulier, pour la quantification classique, la formule pour l'adjoint (14) présente un développement non
trivial en fi et la formule sur le commutateur (16) présente un terme
non nul en fi 2 •
Démonstration. La relation (14) est évidente puisque le noyau de
l'opérateur Opli(a)* est la fonction (x, y) H- kli(x, y), où kli est relié à a par (7). On a alors
kli(y,x) = fi-d§ç- 1 (a)(!(x +y), -k(x -y))
= fi-d §ç-l(a:)(!(x +y), k(x - y))
où l'on a utilisé §ç- 1 (/)(v) = §ç- 1 (7)(-v). Le noyau de Opli(a)*
est ainsi égal au noyau de Opli(a) et ces deux opérateurs sont donc
égaux.
Étudions maintenant la formule de composition (15) : le noyau de
Opli(a) o Opli(b) est la fonction kli(x, y) donnée par
kli(x, y)
= (27rfi)- 2 d f a(!(x+z), ()b(!(y+z), "1)ef
Écrivons kli(x, y)= fi-d Kli((x + y)/2, (x - y)/fi) avec
Kli(X, v) = (27r)- 2 d kad a( X+~ (w + v/2), ç)b(x+~ (w - v/2), .,,)
X e-i(·(w-v/2)+i11·(w+v/2)d( d"I dw.
Une formule de Taylor à l'ordre 2 permet d'écrire
Kli(X, v) = (27r)- 2 d ~ad a(X, ()b(X, "1)e-i(·(w-v/ 2 )+i11·(w+v/ 2 )d( d'T/ dw
+ ~ 2 (27r)- 2 d f (w+v/2) · Vxa(X,()b(X,1/)
1JR.3d
(18)
X e-i(·(w-v/2)+i11·(w+v/2)d( d'T/dW
+- 2
fi(27r)- 2 d f a(X,()(w -v/2) · Vxb(X,1/)
1JR.3d
X e-i(·(w-v/2)+i11·(w+v/2)d( d'T/dW
+ fi 2 rli(X, v),