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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
où Rn est l'opérateur de noyau
rn(x, y)= n,-d Bn(!(x +y), k En utilisant
v · §e- 1 (Vxa)(X,v) = §e- 1 (iVe · Vxa)(X,v), 'v'(X,v) E R. 2 d,
on obtient
Bn(X, v) = fo
1 §e- 1 (iVe ·V xa) (X+ ns(t - 1/2)v, v) ds.
Le fait que l'opérateur Rn soit un opérateur borné sur L 2 (R.d), uniformément par rapport à l'i, vient du corollaire 2.2 et de l'estimation
f sup IBn(X, v)ldv
JJR.d XEJRd
= f sup 1 f
1 §e- 1 (iVx·Vea)(X+hs(t-1/2)v,v)dsldv
}JRd XEJRd Jo
: : ; ; ; f sup l§e- 1 (iVx·Vea)(Y,v)jdv.
D
}JRd YEJRd
4. Calcul symbolique
Dans cette partie nous allons démontrer un certain nombre de formules concernant l'adjoint et la composition d'opérateurs pseudodifférentiels. Ces formules reliant les symboles de ces opérateurs, on
parle de calcul symbolique. Nous décrirons ensuite différentes applications de ce calcul dont le théorème d 'Egorov qui est évoqué dans le
texte de Frédéric Faure et utilisé dans celui de Nalini Anantharaman
(ce volume).
4.1. L'algèbre des opérateurs pseudo-différentiels semiclassiques
Proposition 4.1. Soit a, b E C8°(JR 2 d), alors, dans .2'(L 2 (JRd)),
(14)
Opn(a)* = Opn(a),
l'i,
(15)
Opn(a)Opn(b) = Opn(ab) + 2 i Opn({a,b}) + O(n 2 ),
(16)
[Opn(a), Opn(b)] = ~ Opn( {a, b}) + O(n 3 ),
i
où le crochet de Poisson des fonctions a et b est donné par
(17)
{a, b} = V ea · V xb - Veb · V xa.