OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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On remarque alors que la fonction u i--+ 1- x(u) s'annule en u = 0 et
peut donc s'écrire
1- X(U) = lul 2 N ()N(u)
avec ()N E 0 00 (R.d), ()N bornée ainsi que toutes ses dérivées. On peut
donc écrire
r1;,(X, V) = (Ti/ ô) 2 N §ç- 1 a(X, V) lvl 2 N ()N (Tiv / ô)
= (1i/ô) 2 N §ç- 1 (-D..f a)(X, v)ON (Tiv/ô),
où l'on a utilisé que pour j E {1, ... , d},
v;§ç- 1 a(X, v) = §ç- 1 (iâçia)(X, v), 'V (X, v) E R. 2 d.
On obtient
[ sup lr1;,(X, v)ldv
J1R.d XeJRd
2N
J 1 N
~ (Ti/ô) llONllLoo(JRd) sup l§ç- (-Àç a)(x, v)ldv.
xeJRd
On en déduit par le corollaire 2.2
llRnll2(L2(JRd)) = 0( (1i/ô) 2 N ).
D
3.3. Comparaison des différentes quantifications
Nous allons comparer les différentes quantifications introduites au
paragraphe 1.3 en analysant les noyaux de ces opérateurs. Il suffit de
comparer la quantification de Weyl et lat-quantification pour n'importe quel t E JO, l[.
Proposition 3.4. Pour t E JO, 1[, a E 08°(R. 2 d), on a dans 2(L 2 (R.d)),
Op1;,(a) = Oph(a) + O(Ti).
Démonstration. On part du fait que le noyau de Oph(a) est la fonction
-
~
1
1
ka,t(x, y) =Ti Ka,t(2(x +y), ïi(x - y))
avec
Ka,t(X, v) = §ç- 1 a(X + Ti(t -1/2)v, v).
La formule de Taylor avec reste intégral permet d'écrire
Ka,t(X, v) = Ka(X, v) + Ti(t - 1/2)B1;,(X, v),
où
B1;,(X,v) = v · fo
1 §ç- 1 (Y'xa)(X+1is(t-1/2)v,v)ds.
Rappelons que si f E 'tf 1 (R.), le gradient de f, noté V' f, est le vecteur
de JR.d de coordonnées Ôxi f, 1 ~ j ~ d. On a donc
Oph(a) = Op1;,(a) + Ti(t -1/2)R1;,,