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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
Comme
llkllL2(JR2d) = L ( f d len(x)l 2 dx) = f d ( L len(x)l 2 dx),
nEZ jR
jR nEZ
on en déduit la convergence de la famille Enez llPenlli2 et la relation
attendue.
D
Les implications de ce résultat pour les opérateurs pseudodifférentiels sont immédiates.
Corollaire 3.2. Soit a E C8°(JR 2 d). Alors l'opérateur Opn(a) est un
opérateur Hilbert-Schmidt et
ll0Pn(a)llHs(L2(JRd)) = (27rli)-d/ 2 llallL2(JR2d)·
Notons que la norme Hilbert-Schmidt de Opn(a) est une fonction
non bornée de li.
3.2. Rôle de la diagonale dans le noyau d'un opérateur
pseudo-différentiel
Une propriété importante des opérateurs pseudo-différentiels semiclassiques consiste en le fait que l'on peut modifier le noyau en dehors
de la diagonale { x = y} sans que cela entraîne de modifications de
l'opérateur au premier ordre en li. Rappelons que si a E 08", le noyau
de l'opérateur Opn(a) est la fonction kn définie dans (7) par
kn(x, y) = li-d §e- 1 a(!(x +y), i(x - y)).
Nous allons montrer que la partie la plus importante du noyau kn
d'un opérateur Opn(a) réside sur la diagonale {x =y}.
Proposition 3.3. Soit a E C8°(JR 2 d), X E C8°(1Rd) telle que x(O) = 1,
ô >O. Soit Po,n l'opérateur de noyau
ko,n(x, y) = kn(x, y)x((x - y)/ô).
Alors dans 2(L 2 (JRd)), on a pour tout NE N
Opn(a) = Po,n + O ((li/ô) 2 N).
Démonstration. Nous écrivons
Opn(a) = Po,n +Rn
où Rn est l'opérateur de noyau li-drn(!(x +y), i(x - y)) avec
rn(X, v) = §e- 1 a(X, v) (1 - x(liv/ô)).