OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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3.1. Opérateurs de Hilbert-Schmidt
Rappelons quelques notions concernant les opérateurs définis sur
un espace de Hilbert .YI'. Soit (en)nez une base hilbertienne de .YI'
et P un opérateur défini sur .YI'. On dit que l'opérateur Pest un opérateur de Hilbert-Schmidt si la série L:nez llPenll~ est convergente.
La fonction
(
)
1/2
Pt--+ llPllHs = L llPenll~
nez
est alors une norme sur l'espace vectoriel des opérateurs de HilbertSchmidt. On peut remarquer que si l'on a une autre base hilbertienne
(en)nez, alors
llPenll~ = I:(ep,Pen) 2 et llPll~s = L (ep,Pen) 2 •
~z
~a
Proposition 3.1. Soit P un opérateur de noyau k sur l'espace de Hilbert
.YI' = L 2 (JR.d) et tel que k E L 2 (JR. 2 d). Alors P est un opérateur de
Hilbert-Schmidt et
Démonstration. Soit (en)nez une base hilbertienne de L 2 (JR.d), on a
llPenlli2 = f k(x,y)k(x,z)en(y)en(z)dydzdx,
}JR.3d
où l'on a utilisé le théorème de Fubini pour intervertir les ordres
d'intégration. En effet, on remarque que pour tout (x, y, z) E JR. 3 d,
lk(x, y)k(x, z)en(y)en(z)I ~ ~ (len(Y)l 2 lk(x, z)l 2 + len(z)l 2 lk(x, Y)l 2 ).
Comme la fonction (x, y, z) i-+ len(Y)l 2 1k(x, z)l 2 est une fonction de
L 1 (JR. 3 d) par hypothèse, on en déduit que la fonction (x, y, z) i-+
k(x, y)k(x, z)en(y)en(z) aussi et nous pouvons donc utiliser le théorème de Fubini.
Notons Cn la fonction de L 2 (JR.d) définie pour n E Z par
en(x) = f k(x,z)en(z)dz = (k(x,•),en)·
lJR.d
On a donc par le théorème de Fubini
llPenlli2 = f len(x)l 2 dx, Vn E Z.
}JR.d