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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
L'estimation la plus utilisée dans la littérature est celle de
Calder6n-Vaillancourt [CV71) : il existe N E N* et C > 0 tel que
pour tout a E Cif'(JR 2 d),
(12)
ll0Pn(a)llz(L2(JRd)):::;; C sup
sup lâ~af a(x,Ç)I.
lal+l.Bl..;;N (x,e)EJR 2 d
L'avantage de cette estimation est de faire intervenir des
normes L 00 et non des normes L 1 comme dans les estimation
(10) ou (11). En particulier, si wli est la transformée de Wigner
d'une famille (,,Pli) uniformément bornée dans L 2 (R.d), on obtient le
contrôle : V a E Cif' (R.2d),
(13) 1 f a(x,Ç)wli(t,x,Ç)dxdç,:::;;c sup
sup lâ~âfa(x,Ç)I.
lJR 2 d
lal+l.Bl..;;N (x,e)EJR2d
Cette dernière estimation (13) montre que wli définit une distribution
sur JR 2 d car l'estimation (13) correspond exactement au contrôle que
doit vérifier une forme linéaire sur Cif'(JR 2 d) pour être une distribution au sens de la théorie développée par Laurent Schwartz (voir le
paragraphe 2 page 6 du livre [AG91]).
Le lecteur intéressé pourra consulter avec profit l'article [CV71)
dans lequel est démontrée l'estimation (12) et précisé l'entier N;
il y est montré (dans le cadre de la quantification classique) que le
contrôle des dérivées du symbole est seulement nécessaire pour des
multi-entiers a = ( a1, ... , ad) et /3 = (/31, ... , f3d) tels que a;, /3; E
{O, 1, 2, 3} pour tout j E {1, ... , d}. A notre connaissance, l'estimation la moins coûteuse en termes de dérivées est due à Hwang
(voir [Hwa87) ou l'exercice 5.3 p. 59 de [AG91]), pour la quantification
classique également : il existe C > 0 tel que pour tout a E Cif'(R. 2 d),
lla(x,D)llz(L2(JRd)):::;; C L sup lâ~af a(x,Ç)I.
a:E{O,l}d (x,e)EJR2d
fJE{O,l}d
3. Premières propriétés des opérateurs pseudo-différentiel
Dans ce paragraphe, nous décrivons quelques propriétés des opérateurs pseudo-différentiels en tant qu'opérateurs sur l'espace de Hilbert .Yt' = L 2 (R.d). Ce sont essentiellement des propriétés directement
liées au noyau de l'opérateur. Nous comparerons aussi les différentes
quantifications que nous avons vues précédemment.
CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
L'estimation la plus utilisée dans la littérature est celle de
Calder6n-Vaillancourt [CV71) : il existe N E N* et C > 0 tel que
pour tout a E Cif'(JR 2 d),
(12)
ll0Pn(a)llz(L2(JRd)):::;; C sup
sup lâ~af a(x,Ç)I.
lal+l.Bl..;;N (x,e)EJR 2 d
L'avantage de cette estimation est de faire intervenir des
normes L 00 et non des normes L 1 comme dans les estimation
(10) ou (11). En particulier, si wli est la transformée de Wigner
d'une famille (,,Pli) uniformément bornée dans L 2 (R.d), on obtient le
contrôle : V a E Cif' (R.2d),
(13) 1 f a(x,Ç)wli(t,x,Ç)dxdç,:::;;c sup
sup lâ~âfa(x,Ç)I.
lJR 2 d
lal+l.Bl..;;N (x,e)EJR2d
Cette dernière estimation (13) montre que wli définit une distribution
sur JR 2 d car l'estimation (13) correspond exactement au contrôle que
doit vérifier une forme linéaire sur Cif'(JR 2 d) pour être une distribution au sens de la théorie développée par Laurent Schwartz (voir le
paragraphe 2 page 6 du livre [AG91]).
Le lecteur intéressé pourra consulter avec profit l'article [CV71)
dans lequel est démontrée l'estimation (12) et précisé l'entier N;
il y est montré (dans le cadre de la quantification classique) que le
contrôle des dérivées du symbole est seulement nécessaire pour des
multi-entiers a = ( a1, ... , ad) et /3 = (/31, ... , f3d) tels que a;, /3; E
{O, 1, 2, 3} pour tout j E {1, ... , d}. A notre connaissance, l'estimation la moins coûteuse en termes de dérivées est due à Hwang
(voir [Hwa87) ou l'exercice 5.3 p. 59 de [AG91]), pour la quantification
classique également : il existe C > 0 tel que pour tout a E Cif'(R. 2 d),
lla(x,D)llz(L2(JRd)):::;; C L sup lâ~af a(x,Ç)I.
a:E{O,l}d (x,e)EJR2d
fJE{O,l}d
3. Premières propriétés des opérateurs pseudo-différentiel
Dans ce paragraphe, nous décrivons quelques propriétés des opérateurs pseudo-différentiels en tant qu'opérateurs sur l'espace de Hilbert .Yt' = L 2 (R.d). Ce sont essentiellement des propriétés directement
liées au noyau de l'opérateur. Nous comparerons aussi les différentes
quantifications que nous avons vues précédemment.