OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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Par conséquent, pour tout n EN,
f sup l§ç- 1 a(X, v)ldv
J.~.d XEJRd
~ f sup 1§- 1 ((1+1nç1 2 rl 2 a) (X,v)I (1 + lvl 2 )-ndv
}Jff.d XEJRd
~ C sup 1§- 1 ((1 + IDçl 2 rl 2 a) (X,v)I f (1 + lvl 2 )-ndv
{X,v)EJRd
}JRd
~ c sup 11(1 + IDçl 2 rl 2 all d •
XEJRd
L1{1R )
Ainsi, nous avons le corollaire suivant où l'on utilise la notation
V ' Y = {'Yi, ... , 'Yd) E Nd, l' YI = 'Yl + ... + 'Yd·
Corollaire 2.4. Il existe une constante c > 0 telle que
(10) Va E C8°(1R 2 d), ll0Pli(a)llzcL2(!If.d))
~c sup supllafa(x,•)ll 1 d.
{3ENd xEJRd
L (R )
lf31~d+l
On peut remarquer que ce résultat permet de définir des opérateurs
pseudo-différentiels pour des symboles comportant peu de régularité
en x. Il suffit que a soit à support compact et que af a soit bornée et
intégrable pour tout multi-indice f3 E Nd tel que l/31 ~ d + 1.
Ici, on a choisi une estimation de la norme de Opli(a) qui ne
«consomme» que des dérivées en Ç mais en nombre conséquent. En
jouant avec la transformée de Fourier, on peut obtenir une estimation
analogue ne « consommant » que des dérivées dans la variable x. En
effet, si g_(x,Ç) = a(Ç,x), on a
(!, Opli(a)g) = (27r)-d($1ï(/), Opli(g_)$1ï(g)), V f, g E L 2 (1Rd).
On en déduit
llOP1ï(a)llzcL2(JRd)) = (27r)-dll0P1ï(g_)llzcL2(Rd))
et le corollaire 2.4 donne
(11)
ll0Pli(a)llz(L2(!If.d)) ~ C sup sup ll~a(·,Ç)llL1(JRd)'
{3ENd ÇE!If.d
lf31~d+l
pour une constante C > 0 indépendante de a et de li.