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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
Corollaire 2.2. Soit Pn un opérateur de noyau kn(x, y) de la forme
kn(x, y) = n,-d K(!(x +y), i(x - y))
et tel que la fonction K vérifie
N(K) := j sup IK(X, vl dv < +oo.
XEJRd
Alors l'opérateur Pn est un opérateur borné sur L 2 (1Jld) et
Démonstration. Pour x E Rd, on a
! lkn(x, y)jdy = j IK (x - hv/2, v)I dv ~ j sup IK(X, v)jdv.
XEJRd
De même, pour y E lJld,
! lkn(x,y)jdx = jlK(y+hv/2,v)jdv ~ j sup IK(X,v)jdv.
XEJRd
Le corollaire 2.2 est alors une conséquence directe du lemme de Schur.
D
2.2. Application aux opérateurs pseudo-différentiels
Nous pouvons maintenant étudier l'opérance sur L 2 (Rd) des opérateurs pseudo-différentiels. En effet, le corollaire 2.2 ci-dessus implique
le résultat suivant.
Théorème 2.3. Pour aEC8°(R 2 d), la famille d'opérateurs (Opli(a))li>O
est bornée dans 2(L 2 (1Jld)) et
ll0Pn(a)ll 2 (L2(JRd)) ~ C(a) := f sup j§ç- 1 a (X, v)j dv.
jJRd XEJRd
Si l'on veut estimer la constante C(a) en fonction de normes portant directement sur la fonction a et non sur sa transformée de Fourier, on peut remarquer que pour v E Rd et a: E Nd,
v 0 §ç- 1 a (X, v) = §ç- 1 ((-Dç) 0 a) (X, v),
où pour a:= (0:1, · · · , o:d) E Nd, on pose