OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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Pour estimer la norme d'un opérateur à noyau sur L 2 (JR.d), nous allons utiliser le lemme de Schur auquel nous consacrons le paragraphe
suivant.
2.1. Lemme de Schur
Le lemme de Schur permet d'étudier la norme d'opérateurs à noyau
définis sur L 2 (JR.d). Nous notons 2(L 2 (JR.d)) l'ensemble des endomorphismes continus de L 2 (JR.d) et posons
V P E 2(L 2 (Rd)), llPll2(L2(Rd)) =
sup
llPfllL2(JRd)ll/llL2CJRdl =1
Lemme 2.1. Soit P un opérateur sur L 2 (JR.d) de noyau k(x, y) :
Pf(x) = { k(x,y)f(y)dy.
}]Rd
S'il existe C > 0 tel que
sup j lk(x, y)I dx ~ C et sup j lk(x, y)I dy ~ C,
yEJRd
xEJRd
alors P est un opérateur borné de L 2 (Rd) dans L 2 (JR.d) et
llPll2{L2(1Rd)) ~ c.
Démonstration. Soit f E L 2 (JRd). On écrit
llPflli2c1Rd) = j IPJ(x)l 2 dx
= j k(x, y)k(x, z)f(y)f(z)dx dy dz.
En utilisant
IJ(y)f(z)I ~ ~ (1f(y)l 2 + lf(z)l 2 ) '
on obtient (en utilisant le théorème de Fubini pour intervertir les
ordres d'intégration)
llPflli2(1Rd) ~ ~ j (j lk(x, y)llf(y)l 2 dy) (j lk(x, z)ldz) dx
+ ~ j (j lk(x, z)llf(z)l 2 dz) (j lk(x, y)ldy) dx
~ C 2 llfll 2 •
D
Une conséquence immédiate du lemme de Schur est le corollaire
suivant