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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
nous obtenons
Opli(a)f(y) = (2n)-d {
a(wx,wç)eiw.,·x
lcw.,,wE)e'Jit2d
x [(2nli)-d f
eiwE·eeke·(x-y) f(y)dy dÇJ dwxdwç
}(y,Ç)e'Jft2d
= (2n)-d {
a(wx,wç)eiw.,·xeiwE"(liD} f(x)dwxdwç,
lcw.,,wE)e'Jit2d
d'où la formule
Opli,(a) = (2n)-d { a(wx,wç)ei(w.,·x+wdliD}}dwxdwç.
lnt2d
2. Action sur L 2 (JR.d)
L'analyse de l'action des opérateurs pseudo-différentiels sur L 2 (JR.d)
se fait aisément une fois que l'on a remarqué que Opli(a) est un opérateur à noyau. Rappelons que l'on dit qu'un opérateur P défini sur
un espace fonctionnel adéquat admet comme noyau la fonction k définie sur JR. 2 d si l'image par P d'une fonction f du domaine de Pest
donnée par la formule
Pf(x) = f k(x,y)f(y)dy.
}'Jltd
Dans le cas de l'opérateur Opli(a), son noyau est la fonction
kli(x, y) = (2nli)-d f e*Ç·(x-y)a(!(x +y), Ç)dÇ
(7)
lntd
= lï-dKa(!(x +y), k(x -y))
où
Ka(X,v) = (2n)-d f e*Ç·va(X,Ç)dÇ.
}'Jltd
La fonction Ka est donc la transformée de Fourier inverse de la fonction Ç i--t a(X, Ç). Nous noterons 9"ç- 1 a (X,·) cette transformée de
Fourier inverse, afin de rappeler que la variable X est fixée et que
l'aspect Fourier concerne la variable Ç. On a donc
(8)
Ka(X, v) = (2n)-d kd eke·va (X, Ç) dÇ =: 9"ç- 1 a (X, v).
Notons qu'on peut retrouver le symbole à partir du noyau grâce à la
formule
(9)