OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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Nous verrons au paragraphe 3 que l'on peut généraliser ces formules
de commutation.
1.3. Autres choix de quantification
On doit au mathématicien (et physicien théoricien) Hermann Weyl
les premiers travaux visant à associer à une observable a(x, Ç) un
opérateur, c'est-à-dire à « quantifier» l'observable a(x, Ç). C'est pour
cette raison que l'on appelle quantification de Weyl le procédé donné
par l'équation (6) pour associer à la fonction a l'opérateur Opli(a),
procédé qu'il a proposé dans [Wey27]. D'autres choix de quantification sont possibles et utilisés : on parle de la quantification classique
ou quantification gauche avec l'opérateur a(x, fiD) défini par
V/E.5"(JRd), a(x,fiD)f(x)=(27rfi)-d { a(x,Ç)eie·Cx-y)f(y)dydÇ.
1JR.2d
On peut voir la quantification de Weyl et la quantification classique
comme des cas particuliers de lat-quantification définie par
V f E .5"(JRd),
Oph(a)f(x) = (27rfi)-d { a (tx + (1- t)y, Ç) eie·Cx-y) f(y)dydÇ.
}Jil.2d
Le choix de t = 1/2 correspond à la quantification de Weyl tandis
que le choix t = 1 donne la quantification classique. On peut montrer
(et on le verra dans le paragraphe suivant) que les opérateurs associés
au même symbole a par ces différentes quantifications diffèrent d'un
O(fi), en tant qu'opérateurs agissant sur L 2 (JRd). L'avantage de la
quantification de Weyl réside dans le fait que l'opérateur ainsi défini
est auto-adjoint dès que a est à valeurs réelles, comme nous le verrons
dans la suite. Remarquons aussi que pour des fonctions ne dépendant
que de la variable x ou bien de la variable Ç, ces quantifications sont
équivalentes.
Remarque. Nous terminons par une remarque mettant en lumière
le lien entre la définition que nous avons donnée ici et celle donnée dans la section 1.2 du texte de Frédéric Faure dans ce volume
(voir l'équation (32)). Soit a la fonction définie via la transformation
de Fourier par
a(x, Ç) = (27r)-d f a(wx, we)ei(w.,·x+w~·e)dwxdwe,