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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
On en déduit
Bx; [(Opli.(a)J)](x)
= (27rli)-d { Bx;a(!(x+y),Ç)efe·(x-y)J(y)dydÇ
lnt2d
+ (27rli)-d r a(!(x +y), Ç) efÇ·(x-y)ax;f(y)dy dÇ
lnt2d
= Opli.(a)(8x;f)(x) + Opli.(8x;a)f(x)
et ces intégrales sont bien définies puisque Bx; a est à support compact
et Bx;f(x) à décroissance rapide. Par ailleurs
Xj0Pli.(a)f(x)
= (27rn)-d~ f a(!(x+y),ç)ae;(eH·)f(y)dydç
i lnt2d
+ (27rli)-d { a(!(x + y),Ç) efÇ·(x-y)Yjf(y)dydÇ.
lnt2d
Une intégration par parties dans le premier terme du membre de
droite donne
r a(!(x +y), Ç) 8çj (efÇ·(x-y))f(y)dydÇ
lnt2d
- r a~.a(l(x +y) Ç) efÇ·(x-y) f(y)dydÇ.
}Jli2d .. , 2
,
On obtient alors
Xj0Pli.(a)f(x)
= ili(27rli)-d { 8ç;a(!(x + y),Ç) eiHx-y) f(y)dydÇ
lnt2d
+ (27rli)-d { a(!(x + y),Ç) efHx-y)Yjf(y)dydÇ
}Jli2d
= Opli.(a)(xjf)(x) + ili0pli.(8ç;a)f(x)
et ces intégrales sont bien définies puisque 8ç; a est à support compact
et Xjf(x) à décroissance rapide.
D
On remarquera en passant que l'on a montré des formules de commutation. En effet, si A et B sont deux opérateurs, notons [A, B] leur
commutateur défini par
[A,B] =AB-BA.
Alors le calcul ci-dessus nous donne