OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
61
On remarquera que la fonction wli est une fonction de L 2 (:IR 2 d) avec
llwnlli2cJR2d) = (27rli)-dll'l/lnlli2cJRd)·
Ce contrôle en norme L 2 de wli n'est pas uniforme en li. Néanmoins
il nous permet de définir la quantité fJR2d a(x, Ç)wli(x, Ç)dx dÇ comme
l'intégrale d'une fonction L 1 (R 2 d). L'analyse de l'opérateur Opli(a)
sur L 2 (Rd) nous permettra d'établir des contrôles uniformes en li.
Le lien entre opérateur pseudo-différentiel et transformée de
Wigner est alors donné par la relation
Va E OQ'°(R 2 d), f a(x,Ç)wli(x,Ç)dxdÇ = (Opli(a)'l/lli,'l/lli)L2(JRd)·
1JR.2d
1.2. Action sur la classe de Schwartz
Dans cette section, nous allons étudier l'action des opérateurs
pseudo-différentiels dans l'ensemble .9'(Rd) des fonctions à décroissance rapide. Nous allons démontrer la proposition suivante.
Proposition 1.1. L'opérateur Opli(a) envoie .9'(Rd) sur lui-même.
Démonstration. Il faut d'abord remarquer que si f E .9'(Rd), l'intégrale (6) est convergente à cause de la décroissance rapide de f et
parce que a est à support compact. Le fait que Opli(a)f est dans
.9'(Rd) vient ensuite de deux observations qui sont à la base de l'analyse des opérateurs pseudo-différentiels. Il s'agit de deux intégrations
par parties extrêmement simples. Pour j E {1, ... , d}, on remarque
tout d'abord que l'on a
8x; [(Opli(a)f)] (x)
= - 2
1 (27rli)-d [ 8x;a(!(x +y), Ç) e*Ç·(x-y) f(y)dy
lnt2d
- (27rli)-d f a(!(x +y), Ç) 8y; (e*Ç·(x-y))j(y)dy dÇ.
lnt2d
Une intégration par parties permet de transformer le deuxième terme
du membre de droite, on écrit