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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
Wigner dont l'utilisation a permis par exemple de démontrer d'importants résultats sur les fonctions propres du laplacien sur une sousvariété (voir [GL93] et [AM14] par exemple) ainsi que dans d'autres
domaines.
Nous commencerons par donner la définition et les premières propriétés des opérateurs pseudo-différentiels sur R_d. En particulier, nous
nous attacherons à étudier l'action de ces opérateurs sur L 2 (Rd) et
décrirons quelques résultats de calcul symbolique pseudo-différentiel
(formules de composition, inégalité de Garding, calcul fonctionnel,
théorème d'Egorov). Puis, nous nous intéresserons aux propriétés
des opérateurs pseudo-différentiels liées à des aspects géométriques.
Cette analyse nous permettra d'étudier la structure géométrique de
l'espace des phases et ouvrira la voie à la généralisation du calcul
pseudo-différentiel sur des variétés. Dans un dernier chapitre, nous
nous intéresserons au cas des opérateurs pseudo-différentiels sur le
tore.
1. Opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques sur R_d
1.1. Définitions
Opérateur pseudo-différentiel. Soit a E C8°(JR 2 d) et 1ï E ]O, 1] un petit
paramètre. On définit l'opérateur pseudo-différentiel semi-classique
de symbole a par son action sur les fonctions à décroissance rapide.
Rappelons que de telles fonctions sont indéfiniment dérivables et
vérifient ( 1). On pose alors
(6) V f E .5"(1Rd),
Opli,(a)f(x) = (27rlï)-d f a(!(x + y),Ç)e*Ç·(x-y) f(y)dydÇ.
J.1.t_u
Comme on l'a fait remarquer précédemment, si a= a(x), Opli,(a) est
l'opérateur de multiplication par a(x). Et si a = a(Ç), alors Opli,(a)
est le multiplicateur de Fourier a(TïD) défini en (5).
Transformée de Wigner. Soit (1/Jli,)li,>O une famille bornée de L 2 (Rd).
La transformée de Wigner de (1/Jli,)bo est définie par
wli,(x,Ç) = (27r)-d f eiv·Ç'l/Jli,(x + Tïv/2)1/Jli,(x -Tïv/2)dv.
Jlff . . d