OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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de trouver un processus de quantification associant à une fonction
a E 08°(JR 2 d) un opérateur Opli(a) défini sur L 2 (JRd). On demandera
à ce processus de quantification que dans le cas où a ne dépend que
de x, l'opérateur obtenu est l'opérateur de multiplication par a(x)
tandis que si a ne dépend que de Ç, on retrouve l'opérateur a(lïD).
Un point de vue équivalent consiste à dire que l'on va remplacer
les densités nli(x) et nli(Ç) par une densité généralisée wli(x,Ç) dont
les densités nli(x) et nli(Ç) seront les marginales en Ç et en x respectivement, c'est-à-dire qu'on les retrouvera en projetant wli(x, Ç)
sur l'espace des x ou l'espace des Ç respectivement. Plus précisément,
pour toute fonction, Cette idée remonte aux travaux du physicien théoricien Eugène Paul
Wigner [Wig32). Celui-ci partagea avec deux autres physiciens le prix
Nobel de physique 1963 pour ses contributions à la théorie du noyau
atomique [Wig59]. L'utilisation de la transformée de Wigner permet
de profiter d'un cadre de travail très confortable même si cela se
fait au prix d'une légère perte de structure car la fonction wli, que
l'on appelle alors transformée de Wigner de la famille ,,Pli, n'est pas
une densité, tout simplement parce que ce n'est pas une fonction
positive. Cette fonction wli est dans L 2 (JR 2 d) et son action contre
des observables a(x, Ç) E 08°(JR 2 d) prend son sens le plus achevé
dans le cadre de la théorie des distributions de Laurent Schwartz,
personnalité marquante de l'École polytechnique.
Le processus de quantification que nous allons utiliser permet de
transcrire l'action de wli sur une fonction test a en terme d'action de
l'opérateur Opli(a) sur la fonction d'onde ,,pli
Nous verrons que la positivité « perdue » de la transformée de Wigner
se retrouve en passant à la limite fi --+ 0 ; on peut alors montrer que
toute limite faible (au sens des distributions) de wli est une mesure
positive. C'est la théorie des mesures semi-classiques ou mesures de
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de trouver un processus de quantification associant à une fonction
a E 08°(JR 2 d) un opérateur Opli(a) défini sur L 2 (JRd). On demandera
à ce processus de quantification que dans le cas où a ne dépend que
de x, l'opérateur obtenu est l'opérateur de multiplication par a(x)
tandis que si a ne dépend que de Ç, on retrouve l'opérateur a(lïD).
Un point de vue équivalent consiste à dire que l'on va remplacer
les densités nli(x) et nli(Ç) par une densité généralisée wli(x,Ç) dont
les densités nli(x) et nli(Ç) seront les marginales en Ç et en x respectivement, c'est-à-dire qu'on les retrouvera en projetant wli(x, Ç)
sur l'espace des x ou l'espace des Ç respectivement. Plus précisément,
pour toute fonction, Cette idée remonte aux travaux du physicien théoricien Eugène Paul
Wigner [Wig32). Celui-ci partagea avec deux autres physiciens le prix
Nobel de physique 1963 pour ses contributions à la théorie du noyau
atomique [Wig59]. L'utilisation de la transformée de Wigner permet
de profiter d'un cadre de travail très confortable même si cela se
fait au prix d'une légère perte de structure car la fonction wli, que
l'on appelle alors transformée de Wigner de la famille ,,Pli, n'est pas
une densité, tout simplement parce que ce n'est pas une fonction
positive. Cette fonction wli est dans L 2 (JR 2 d) et son action contre
des observables a(x, Ç) E 08°(JR 2 d) prend son sens le plus achevé
dans le cadre de la théorie des distributions de Laurent Schwartz,
personnalité marquante de l'École polytechnique.
Le processus de quantification que nous allons utiliser permet de
transcrire l'action de wli sur une fonction test a en terme d'action de
l'opérateur Opli(a) sur la fonction d'onde ,,pli
Nous verrons que la positivité « perdue » de la transformée de Wigner
se retrouve en passant à la limite fi --+ 0 ; on peut alors montrer que
toute limite faible (au sens des distributions) de wli est une mesure
positive. C'est la théorie des mesures semi-classiques ou mesures de