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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
Dans l'exemple ci-dessus, on a vu apparaître la hr-transformée de
Fourier, que nous noterons §li et que l'on définit par
V f E L 2 (1Rd), V Ç E Rd, §li(j)(Ç) = n~/ 2 Î (~) ·
Rappelons que le paramètre li appartient à JR+ ; les quantités introduites ci-dessus sont donc bien définies. L'application (27r)-df 2 §1i
est un automorphisme unitaire de L 2 (Rd). Avec cette transformée
de Fourier, on peut étudier la fonction f en variable de Fourier à
l'échelle 1/li. Traditionnellement, et à cause des relations (2), on interprète la variable de Fourier Ç comme la variable d'impulsion et on
définit la densité en impulsion par
nli(Ç)dÇ = (27rli)-d l§li( .,pli(Ç)) 12 dÇ.
L'espace des positions-impulsions (x, Ç) est appelé l'espace des phases
et c'est dans cet espace que l'on veut travailler. Nous avons déjà vu
dans la section 1 du texte de Frédéric Faure (ce volume), et nous
reverrons plus loin, comment cet espace s'interprète comme l'espace
cotangent à JRd et comment on peut généraliser ces notions dans le
cas d'une variété M.
Pour étudier les densités en impulsion et en position, on les teste
contre des fonctions de C8° (JRd). On peut représenter ces deux tests
comme l'action d'un opérateur sur la fonction d'onde:
V cp E CQ'°(JRd),
V f cp(x)nli(x)dx =(.,pli, cp(x).,Pli)L2(Rd),
}Rd
kd où l'opérateur cp(x) est l'opérateur de multiplication par cp(x) et l'opérateur
renseigne sur la valeur moyenne des observables cp(x) et le système étudié. Comme nous l'avons déjà dit, l'intérêt des opérateurs pseudo-différentiels est de concilier les points de vue position et
impulsion en permettant de considérer des observables qui soient des
fonctions des deux variables x et Ç. Il s'agit donc de construire une
algèbre d'opérateurs contenant les opérateurs de multiplication en variable de position ainsi que les multiplicateurs de Fourier, c'est-à-dire
CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
Dans l'exemple ci-dessus, on a vu apparaître la hr-transformée de
Fourier, que nous noterons §li et que l'on définit par
V f E L 2 (1Rd), V Ç E Rd, §li(j)(Ç) = n~/ 2 Î (~) ·
Rappelons que le paramètre li appartient à JR+ ; les quantités introduites ci-dessus sont donc bien définies. L'application (27r)-df 2 §1i
est un automorphisme unitaire de L 2 (Rd). Avec cette transformée
de Fourier, on peut étudier la fonction f en variable de Fourier à
l'échelle 1/li. Traditionnellement, et à cause des relations (2), on interprète la variable de Fourier Ç comme la variable d'impulsion et on
définit la densité en impulsion par
nli(Ç)dÇ = (27rli)-d l§li( .,pli(Ç)) 12 dÇ.
L'espace des positions-impulsions (x, Ç) est appelé l'espace des phases
et c'est dans cet espace que l'on veut travailler. Nous avons déjà vu
dans la section 1 du texte de Frédéric Faure (ce volume), et nous
reverrons plus loin, comment cet espace s'interprète comme l'espace
cotangent à JRd et comment on peut généraliser ces notions dans le
cas d'une variété M.
Pour étudier les densités en impulsion et en position, on les teste
contre des fonctions de C8° (JRd). On peut représenter ces deux tests
comme l'action d'un opérateur sur la fonction d'onde:
V cp E CQ'°(JRd),
V f cp(x)nli(x)dx =(.,pli, cp(x).,Pli)L2(Rd),
}Rd
kd où l'opérateur cp(x) est l'opérateur de multiplication par cp(x) et l'opérateur
renseigne sur la valeur moyenne des observables cp(x) et le système étudié. Comme nous l'avons déjà dit, l'intérêt des opérateurs pseudo-différentiels est de concilier les points de vue position et
impulsion en permettant de considérer des observables qui soient des
fonctions des deux variables x et Ç. Il s'agit donc de construire une
algèbre d'opérateurs contenant les opérateurs de multiplication en variable de position ainsi que les multiplicateurs de Fourier, c'est-à-dire