OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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où xo, Ço E JR.d et ~ E C8° (JR. 2 d) ( C8° (JR. 2 d) désigne l'espace des fonctions C 00 à support compact sur JR.d). En effet, pour ces deux familles
nous avons
Mais, si l'on multiplie Uli par une fonction
est un point d'obstruction à la convergence forte de (uli) vers 0 dans
L 2 (JR.d). On se convaincra rapidement qu'il n'est pas possible de faire
la même chose avec la famille (vn) en travaillant dans les variables x.
Néanmoins, cela devient possible en se plaçant dans les variables de
Fourier. En effet, dans ces variables, les oscillations de (vn) s'interprètent comme une concentration sur Ço puisque l'on a
!i-d/2Vn (Ç/!i) = !i-d/2~ ((Ç _ Ço)/!i).
En Fourier, on voit que c'est le vecteur Ço qui constitue l'obstruction
à la convergence forte de la famille ( vn). Pour l'éliminer, il suffit de
multiplier Vn par une fonction , régulière et bornée, et s'annulant
près de Ço, après avoir fait une mise à l'échelle convenable. Pour
expliquer ce point, il est commode d'avoir quelques notations. On
associe à la fonction
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où xo, Ço E JR.d et ~ E C8° (JR. 2 d) ( C8° (JR. 2 d) désigne l'espace des fonctions C 00 à support compact sur JR.d). En effet, pour ces deux familles
nous avons
Mais, si l'on multiplie Uli par une fonction
est un point d'obstruction à la convergence forte de (uli) vers 0 dans
L 2 (JR.d). On se convaincra rapidement qu'il n'est pas possible de faire
la même chose avec la famille (vn) en travaillant dans les variables x.
Néanmoins, cela devient possible en se plaçant dans les variables de
Fourier. En effet, dans ces variables, les oscillations de (vn) s'interprètent comme une concentration sur Ço puisque l'on a
!i-d/2Vn (Ç/!i) = !i-d/2~ ((Ç _ Ço)/!i).
En Fourier, on voit que c'est le vecteur Ço qui constitue l'obstruction
à la convergence forte de la famille ( vn). Pour l'éliminer, il suffit de
multiplier Vn par une fonction , régulière et bornée, et s'annulant
près de Ço, après avoir fait une mise à l'échelle convenable. Pour
expliquer ce point, il est commode d'avoir quelques notations. On
associe à la fonction
(!iD) en posant
Un tel opérateur est appelé multiplicateur de Fourier car c'est tout
simplement un opérateur de multiplication dans les variables de Fourier. La fonction de la variable Ç
tend vers 0 en norme L 2 , et, par le théorème de Plancherel (3) il en
est de même pour
de concentration et d'oscillation, on a besoin de disposer d'opérateurs
permettant de jouer simultanément sur les variables usuelles et les variables de Fourier, c'est le rôle des opérateurs pseudo-différentiels.