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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
Dans le cas où M = Rd, nous allons voir que l'espace vectoriel
L 2 (Rd) est muni d'un automorphisme donné par la transformée de
Fourier. Pour définir la transformée de Fourier, nous allons utiliser
l'espace .9'(JRd) des fonctions à décroissance rapide sur Rd, c'est-à-dire
des fonctions f E C 00 (Rd) telles que
(1)
3C0t.,f3 > 0,
où pour 'Y = ('Yi, ... , 'Yd) E Nd, on pose
d
x'Y =X 'Yl ••• X 'Y
et fJJ. = â.'Yl ••• ffYd
1
d
:z;
:z:1
:Z:d'
On définit alors une application linéaire g: sur .9'(Rd) en posant
ff:(f) = Î où
Du fait des propriétés :
Î(Ç) = f e-i:z:·{ f(x)dx.
}e_d
(2)
v i E {1, ... , d}, a-;;f(Ç) = iÇj Î(Ç), ae;Î(f.) = i;;J(ç),
l'application g: envoie .9'(Rd) dans lui-même. On peut alors démontrer la formule d'inversion de Fourier
f(x) = (211")-d f ei:z:·{ /(Ç)dÇ,
J.JR.d
qui nous dit que g: est un isomorphisme de .9'(Rd) dans lui-même,
de bijection réciproque g;- 1 définie par
V g E .9'(Rd), Vx E JRd, g:- 1 (g)(x) = (27r)-d { ei:z:·{g(Ç)dÇ.
}'JR.d
On peut alors utiliser la densité de .9'(Rd) dans L 2 (Rd) pour
étendre g: en un automorphisme de l'espace vectoriel L 2 (JRd). On
démontre alors le théorème de Plancherel, à savoir
(3)
ce qui implique que l'application (27r)-d/ 2 g; est une transformation
unitaire de L 2 (Rd).
Comme nous l'avons dit plus haut, certains phénomènes se comprennent mieux si on les étudie aussi dans les variables de Fourier.
Pensons par exemple aux obstructions à la convergence forte (ou
convergence en norme) vers 0 dans L 2 (Rd) des familles
(4)
uli(x) = ;,,-d/ 2 éb ((x - xo)/n) et Vfi(x) = éb(x)ei:z:·{o/li