OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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de présence et de fonction d'onde. Si cette dernière trouve une interprétation physique dans le cadre de la mécanique bohmienne, initiée
par les physiciens Bohm et De Broglie, ce n'est pas le cas dans le
cadre classique de l'école de Copenhague où, à la suite de Bohr et de
Heisenberg, par exemple, on considère que la fonction d'onde n'a pas
réellement de signification physique. C'est son module au carré qui
s'interprète en terme de densité de probabilité de présence.
Dans un espace de configuration M, la fonction d'onde 'l/Jli est un
élément de norme 1 dans l'espace L 2 (M) des fonctions de carré intégrable. Cette fonction dépend d'un paramètre fi E IR' .f- qui dépend des
constantes de la physique, en particulier de la constante de Planck et
que nous supposerons petit. En particulier, nous nous intéresserons
à la limite fi --+ O. La densité
nli(x)dx = l'l/Jli(x)l 2 dx
est une densité de probabilité sur M et c'est cette densité nli qui
permet de calculer les probabilités de la mécanique quantique. La
variable x E M décrit une configuration particulière de la particule
étudiée et si A est une partie mesurable de M, la quantité
P(A) = L nli(x)dx
donne la probabilité de trouver la particule quantique dans une configuration décrite par un point de la partie A. Dans ce texte, M sera
en général l'espace euclidien de dimension d, JRd ; mais nous considérerons aussi le cas du tore 'J['d de dimension d, ou bien le cas d'une
sous-variété de JRd.
Les espaces fonctionnels de la mécanique quantique sont donc
construits sur l'espace de Lebesgue L 2 (M) des fonctions mesurables
et de carré intégrable sur M. Cet espace muni de la norme
llfllL2 = (JM lf(x)l 2 dx)
112
est un espace de Hilbert dont nous écrirons le produit scalaire
(J,g) = jMJ(x)g(x)dx.
Rappelons en particulier l'inégalité de Cauchy-Schwartz dont nous
ferons usage :
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de présence et de fonction d'onde. Si cette dernière trouve une interprétation physique dans le cadre de la mécanique bohmienne, initiée
par les physiciens Bohm et De Broglie, ce n'est pas le cas dans le
cadre classique de l'école de Copenhague où, à la suite de Bohr et de
Heisenberg, par exemple, on considère que la fonction d'onde n'a pas
réellement de signification physique. C'est son module au carré qui
s'interprète en terme de densité de probabilité de présence.
Dans un espace de configuration M, la fonction d'onde 'l/Jli est un
élément de norme 1 dans l'espace L 2 (M) des fonctions de carré intégrable. Cette fonction dépend d'un paramètre fi E IR' .f- qui dépend des
constantes de la physique, en particulier de la constante de Planck et
que nous supposerons petit. En particulier, nous nous intéresserons
à la limite fi --+ O. La densité
nli(x)dx = l'l/Jli(x)l 2 dx
est une densité de probabilité sur M et c'est cette densité nli qui
permet de calculer les probabilités de la mécanique quantique. La
variable x E M décrit une configuration particulière de la particule
étudiée et si A est une partie mesurable de M, la quantité
P(A) = L nli(x)dx
donne la probabilité de trouver la particule quantique dans une configuration décrite par un point de la partie A. Dans ce texte, M sera
en général l'espace euclidien de dimension d, JRd ; mais nous considérerons aussi le cas du tore 'J['d de dimension d, ou bien le cas d'une
sous-variété de JRd.
Les espaces fonctionnels de la mécanique quantique sont donc
construits sur l'espace de Lebesgue L 2 (M) des fonctions mesurables
et de carré intégrable sur M. Cet espace muni de la norme
llfllL2 = (JM lf(x)l 2 dx)
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est un espace de Hilbert dont nous écrirons le produit scalaire
(J,g) = jMJ(x)g(x)dx.
Rappelons en particulier l'inégalité de Cauchy-Schwartz dont nous
ferons usage :