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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
des opérateurs pseudo-différentiels introduits par Shubin [Shu87] et
systématiquement étudiés par Hôrmander [Hôr79].
On peut voir l'analyse semi-classique comme étant issue de l'intérêt d'une communauté imbibée de techniques micro-locales pour
des questions de physique théorique. Il s'agit alors d'utiliser des techniques micro-locales en présence d'un petit paramètre fi et d'analyser les propriétés micro-locales des objets à la limite fi -+ O. Dans
sa « bibliographie commentée » [Hel] dont nous nous inspirons ici,
Bernard Helffer situe les débuts de l'analyse semi-classique autour
de 1977, prenant comme repère la date de la thèse d'André Voros [Vor77] où l'on voit apparaître dans un cadre semi-classique une
utilisation du calcul pseudo-différentiel. Le paramètre fi est très souvent lié à la constante de Planck mais il peut aussi résulter d'une
analyse fine de l'ordre de grandeur des quantités physiques mises en
jeu et d'un processus d'adimensionnement. C'est le cas par exemple
en chimie quantique où l'analyse de la dynamique moléculaire dans
le cadre de l'approximation de Born-Oppenheimer s'est développée
avec une approche semi-classique. Le petit paramètre est alors lié au
quotient de la masse de l'électron et de la masse moyenne du noyau
de la molécule étudiée (voir [B027] par exemple).
C'est dans le cadre semi-classique que nous nous placerons ici et
nous ne considérerons pas la théorie générale des opérateurs pseudodifférentiels. Le lecteur intéressé pourra se reporter aux nombreux
excellents ouvrages qui existent sur ce sujet. Nous pensons en particulier aux livres [AG91, DS99, LerlO, Zwo12]. Il faut noter que
des classes d'opérateurs pseudo:.différentiels peuvent aussi être définies sur des groupes qui ne sont pas commutatifs (à la différence de
l'espace euclidien ou du tore), que ce soit sur des groupes de Lie compacts (voir [RT07]) ou des groupes de Lie non compacts comme dans
l'article [BFKG 12] pour le groupe de Heisenberg, ou dans le livre récent [FR12] pour le cas général des groupes de Lie stratifiés ; cette
théorie est donc encore en plein essor.
Nous nous intéresserons plus particulièrement à ce que peut apporter le calcul pseudo-différentiel semi-classique à la mécanique quantique. Nous avons vu dans le texte de Frédéric Faure (ce volume)
que la mécanique quantique est basée sur la notion de probabilité
CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
des opérateurs pseudo-différentiels introduits par Shubin [Shu87] et
systématiquement étudiés par Hôrmander [Hôr79].
On peut voir l'analyse semi-classique comme étant issue de l'intérêt d'une communauté imbibée de techniques micro-locales pour
des questions de physique théorique. Il s'agit alors d'utiliser des techniques micro-locales en présence d'un petit paramètre fi et d'analyser les propriétés micro-locales des objets à la limite fi -+ O. Dans
sa « bibliographie commentée » [Hel] dont nous nous inspirons ici,
Bernard Helffer situe les débuts de l'analyse semi-classique autour
de 1977, prenant comme repère la date de la thèse d'André Voros [Vor77] où l'on voit apparaître dans un cadre semi-classique une
utilisation du calcul pseudo-différentiel. Le paramètre fi est très souvent lié à la constante de Planck mais il peut aussi résulter d'une
analyse fine de l'ordre de grandeur des quantités physiques mises en
jeu et d'un processus d'adimensionnement. C'est le cas par exemple
en chimie quantique où l'analyse de la dynamique moléculaire dans
le cadre de l'approximation de Born-Oppenheimer s'est développée
avec une approche semi-classique. Le petit paramètre est alors lié au
quotient de la masse de l'électron et de la masse moyenne du noyau
de la molécule étudiée (voir [B027] par exemple).
C'est dans le cadre semi-classique que nous nous placerons ici et
nous ne considérerons pas la théorie générale des opérateurs pseudodifférentiels. Le lecteur intéressé pourra se reporter aux nombreux
excellents ouvrages qui existent sur ce sujet. Nous pensons en particulier aux livres [AG91, DS99, LerlO, Zwo12]. Il faut noter que
des classes d'opérateurs pseudo:.différentiels peuvent aussi être définies sur des groupes qui ne sont pas commutatifs (à la différence de
l'espace euclidien ou du tore), que ce soit sur des groupes de Lie compacts (voir [RT07]) ou des groupes de Lie non compacts comme dans
l'article [BFKG 12] pour le groupe de Heisenberg, ou dans le livre récent [FR12] pour le cas général des groupes de Lie stratifiés ; cette
théorie est donc encore en plein essor.
Nous nous intéresserons plus particulièrement à ce que peut apporter le calcul pseudo-différentiel semi-classique à la mécanique quantique. Nous avons vu dans le texte de Frédéric Faure (ce volume)
que la mécanique quantique est basée sur la notion de probabilité