OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS
SEMI-CLASSIQUES
par
Clotilde Fermanian Kammerer
Introduction
Le but de ce texte est de reprendre et de développer les outils évoqués dans celui de Frédéric Faure de cet ouvrage, lesquels seront utilisés dans celui écrit par Nalini Anantharaman. Il s'agit tout particulièrement d'étudier les opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques
et ce sera aussi l'occasion de parler de quelques développements de
cette théorie. En particulier, nous verrons comment l'approche semiclassique permet de faire le lien entre mécanique classique et mécanique quantique.
Les opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques sont les outils
de base de l'analyse semi-classique dont le développement est intimement lié à celui de l'analyse micro-locale. L'analyse micro-locale
(qui utilise le calcul pseudo-différentiel général, c'est-à-dire sans le
petit paramètre appelé paramètre semi-classique que nous introduirons plus loin) s'est développée en France dans les années 1970, en
particulier autour du séminaire Goulaouic-Schwartz qui avait lieu à
l'École polytechnique. L'idée fondatrice de l'analyse micro-locale est
d'étudier une fonction simultanément dans la variable d'espace, aussi
appelé variable de position, et dans la variable de Fourier ou variable
d'impulsion. En effet, de nombreux phénomènes nécessitent ces deux
approches pour être bien compris, comme nous le verrons dans la
suite. Avec un tel point de vue, il est crucial de disposer d'opérateurs
de localisation en variables de position et d'impulsion, c'est le rôle
SEMI-CLASSIQUES
par
Clotilde Fermanian Kammerer
Introduction
Le but de ce texte est de reprendre et de développer les outils évoqués dans celui de Frédéric Faure de cet ouvrage, lesquels seront utilisés dans celui écrit par Nalini Anantharaman. Il s'agit tout particulièrement d'étudier les opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques
et ce sera aussi l'occasion de parler de quelques développements de
cette théorie. En particulier, nous verrons comment l'approche semiclassique permet de faire le lien entre mécanique classique et mécanique quantique.
Les opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques sont les outils
de base de l'analyse semi-classique dont le développement est intimement lié à celui de l'analyse micro-locale. L'analyse micro-locale
(qui utilise le calcul pseudo-différentiel général, c'est-à-dire sans le
petit paramètre appelé paramètre semi-classique que nous introduirons plus loin) s'est développée en France dans les années 1970, en
particulier autour du séminaire Goulaouic-Schwartz qui avait lieu à
l'École polytechnique. L'idée fondatrice de l'analyse micro-locale est
d'étudier une fonction simultanément dans la variable d'espace, aussi
appelé variable de position, et dans la variable de Fourier ou variable
d'impulsion. En effet, de nombreux phénomènes nécessitent ces deux
approches pour être bien compris, comme nous le verrons dans la
suite. Avec un tel point de vue, il est crucial de disposer d'opérateurs
de localisation en variables de position et d'impulsion, c'est le rôle