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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
où A est une fonction sur JR 2 d à valeurs dans JR.d dont les d composantes sont indéfiniment dérivable, bornées ainsi que toutes leurs
dérivées partielles, uniformément par-rapport à li E ]O, 1]. La formule
de Taylor à l'ordre 2 avec reste intégral donne
K(X + liv/2) + K.(X - liv/2) = 2K(X) + li 2 B(X, liv)v · v,
où B est une fonction sur JR. 2 d à valeurs dans les matrices d x d dont
les coefficients sont indéfiniment dérivables, bornés ainsi que leurs
dérivées partielles, uniformément par-rapport à li E ]O, 1]. Enfin, en
faisant deux formules de Taylor, l'une à l'ordre 3 et l'autre à l'ordre 1,
on obtient
K(X + liv /2) - K.(X - liv /2) = li \l K(X) · v + liaC(x, liv) [v, v, v],
e*e·(1t(X+~v)-1t(X-~v)) = eiÇ·(V1t(X)v)(1 + li2Ç. D(X, liv)[v, v, v]),
où les fonctions C et D sont définies sur JR. 2 d et à valeurs dans l'ensemble des formes trilinéaires sur R.d (on note [vi, v2, va] l'action sur
le vecteur (vi, v2, va) E (R.d)a de la forme trilinéaire ). De plus ces
fonctions C et D sont C 00 , bornées ainsi que leurs dérivées partielles,
uniformément par-rapport à li E ]O, 1]. On peut donc transformer Kr,,
de la façon suivante
Kr,,(X, v) = (27r)-d f eiÇ·(V1t(X)v)a (K(X), Ç) J1t(X)dÇ + liRr,,(X, v),
}R_d
avec
Rr,,(X, v) = L j eïe·(V1t(X)v)ea,h(X, Ç, liv)v 0 dÇ
lal~a
où les fonctions 0 0 ,r,, sont C 00 et à support compact en Ç, et pour tout
f3 E Nd, af ea,h est bornée uniformément par-rapport à li E ]O, 1]. On
utilise alors une intégrations par parties en v pour écrire
Kr,,(X, v) = (27r)-d f eitVit(X)Ç·va (K-(X), Ç) Jit(X)dÇ + liRr,,(X, v).
}R_d
Puis, on fait le changement de variables Ç i-t t\/K(X)- 1 Ç, ce qui
donne
Kr,,(X,v) = (27r)-d ldeiÇ·va(K(X), t\lK(X)- 1 Ç)dÇ+liRr,,(X,v).
On va maintenant travailler la fonction Rr,, en utilisant à nouveau
des intégrations par parties pour transformer les puissances de v en