OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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dérivées en Ç ; dans le pire des cas, il faut faire trois intégrations par
parties successives et on obtient
Rn(X,v)
= L J eiÇ·v(-iV'K(X)- 1 âç) 0 0a,n(X, tV'K(X)- 1 Ç, nv)Jiç(x)- 1 dÇ
ial~3
Les estimations énoncées sur les fonctions 0a,n permettent d'obtenir
qu'il existe une constante C > 0 telle que pour tout n E JO, 1 [,
f sup IRn(X, v)ldv ~ C.
J..~.d XeR.d
Par le résultat du corollaire 2.2, l'opérateur de noyau (x, y) 1-t
n,-d Rn ( ! ( x + y), k ( x - y)) est donc uniformément borné sur
2(L 2 (R.d)). Par ailleurs, au vu des équations (34) et (35), on
en déduit
kn(x, y) = kn(x, y)+ n,-d+l Rn (!Cx +y), kCx - y))
avec
kn(x, y)= (2?Tn)-d kd e*Ç·(x-y)a( K(!(x +y)), tV'K(!(x + y))- 1 ç)dç.
Les opérateurs de noyau kn(x, y) et kn(x, y) sont donc égaux à O(n)
près dans 2(L 2 (R.d)). Or la fonction kn(x, y) est le noyau de l'opérateur Opn(aiç). Les opérateurs K*Opn(a)K* et Opn(aiç) diffèrent donc
de O(n) dans 2(L 2 (R.d)).
D
5.2. Opérateurs pseudo-différentiels sur une variété et nature géométrique de l'espace des phases
Le résultat de la section 5.1 va permettre de définir les opérateurs
pseudo-différentiels sur une variété M. Rappelons que lorsque M est
une sous variété de R_d, il existe une famille d'homéomorphismes f§
dont les éléments / envoient des ouverts U-y de M sur des ouverts V-y
de R_d avec les deux propriétés suivantes :
(1) Les ouverts U-y recouvrent M, M = U-yeff U-y,
(2) Les recouvrements sont réguliers : si /li /2 E W, alors /2o11 1
est une application C 00 de11(U-y 1 n U-y 2 ) dans 12(U-y 1 n U-y 2 ).
On appelle la famille {(1, U-y), / E W} un atlas pour Met on dit que
l'élément U-y est une carte locale de M.
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dérivées en Ç ; dans le pire des cas, il faut faire trois intégrations par
parties successives et on obtient
Rn(X,v)
= L J eiÇ·v(-iV'K(X)- 1 âç) 0 0a,n(X, tV'K(X)- 1 Ç, nv)Jiç(x)- 1 dÇ
ial~3
Les estimations énoncées sur les fonctions 0a,n permettent d'obtenir
qu'il existe une constante C > 0 telle que pour tout n E JO, 1 [,
f sup IRn(X, v)ldv ~ C.
J..~.d XeR.d
Par le résultat du corollaire 2.2, l'opérateur de noyau (x, y) 1-t
n,-d Rn ( ! ( x + y), k ( x - y)) est donc uniformément borné sur
2(L 2 (R.d)). Par ailleurs, au vu des équations (34) et (35), on
en déduit
kn(x, y) = kn(x, y)+ n,-d+l Rn (!Cx +y), kCx - y))
avec
kn(x, y)= (2?Tn)-d kd e*Ç·(x-y)a( K(!(x +y)), tV'K(!(x + y))- 1 ç)dç.
Les opérateurs de noyau kn(x, y) et kn(x, y) sont donc égaux à O(n)
près dans 2(L 2 (R.d)). Or la fonction kn(x, y) est le noyau de l'opérateur Opn(aiç). Les opérateurs K*Opn(a)K* et Opn(aiç) diffèrent donc
de O(n) dans 2(L 2 (R.d)).
D
5.2. Opérateurs pseudo-différentiels sur une variété et nature géométrique de l'espace des phases
Le résultat de la section 5.1 va permettre de définir les opérateurs
pseudo-différentiels sur une variété M. Rappelons que lorsque M est
une sous variété de R_d, il existe une famille d'homéomorphismes f§
dont les éléments / envoient des ouverts U-y de M sur des ouverts V-y
de R_d avec les deux propriétés suivantes :
(1) Les ouverts U-y recouvrent M, M = U-yeff U-y,
(2) Les recouvrements sont réguliers : si /li /2 E W, alors /2o11 1
est une application C 00 de11(U-y 1 n U-y 2 ) dans 12(U-y 1 n U-y 2 ).
On appelle la famille {(1, U-y), / E W} un atlas pour Met on dit que
l'élément U-y est une carte locale de M.