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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
Ce sont ces cartes locales qui permettent de définir des fonctions 0 00 sur la variété M. Une fonction f de M dans JR.k, k E N,
est dite 0 00 si pour tout 'Y E '#, la fonction f1u"I o 'Y-l est une
fonction 0 00 de V-y dans JR.k.
Nous allons définir deux fibrés vectoriels au-dessus de M : le fibré
tangent à M que l'on note TM et le fibré cotangent à M que l'on
note T* M. Le fibré TM est la collection des espaces tangents TxM
aux points x E M et le fibré T* M est la collection des espaces T; M
qui sont les espaces duaux des espaces TxM, c'est-à-dire les espaces
des formes linéaires sur TxM.
Si K est un 0 1 difféomorphisme local de M, il induit une application
TK de TM dans lui-même et une application T*K de T*M dans luimême définies comme suit : notons z les éléments de TxM et Ç ceux
de T;M, on a
et
TxK: TxM--+ T1t(x)M, z i----+ 'VK(x)z,
T;K: T;M--+ T:(x)M, Ç i----+ t'VK(x)- 1 Ç.
On remarque que l'on a
V z E TxM, T;K(Ç)(TxK(z)) = Ç(z).
Ces notions sont triviales lorsque M = JR.d mais il est intéressant de
remarquer que les règles de transformation du symbole d'un opérateur pseudo-différentiel par changement de variable énoncées en (33)
dans la proposition 5.1 montrent que le symbole définit une fonction
de l'espace cotangent de JR.d. C'est cette remarque fondamentale qui
permet de définir les opérateurs pseudo-différentiels sur M en prenant
pour ensemble de symboles des fonctions à support compact dans
T* M. En utilisant les cartes locales, on transporte sur la variété M
la notion d'opérateur pseudo-différentiel définie sur JR.d. La règle de
transformation par changement de variable permet alors de recoller
les définitions à l'intersection de deux cartes au premier ordre en fi.
Ces opérateurs sont donc définis modulo des restes de taille O(fi).
Il faut noter que les résultats de calcul symbolique (adjoint, composition), ainsi que ceux concernant le calcul fonctionnel restent valables dans le cadre du calcul pseudo-différentiel semi-classique sur