OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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une variété. Il en est de même pour le théorème d'Egorov (théorème 4.2) et ce résultat sera utilisé dans le texte de Nalini Anantharaman (ce volume). Néanmoins, la dépendance temporelle du reste
dans le théorème d'Egorov peut différer du cas euclidien et est fortement reliée à la structure géométrique de la variété M ; il peut par
exemple être exponentiellement grand, en O(lie>.t) pour un certain
À> o.
Nous terminons ce paragraphe par une remarque sur la structure
géométrique de l'espace des phases. Il est usuel de munir l'espace
cotangent T*Rd d'une structure d'espace symplectique par la 2-forme
w = dÇ /\ dx = L dÇi /\ dxi.
l~~d
Une bonne transformation de l'espace des phases est une transformation qui préserve cette structure symplectique. De telles transformations sont appelées transformations symplectiques ou encore transformations canoniques. On peut vérifier que l'application T* K définie
par (voir équation (33))
T*K: (x,Ç) i---+ (K(x), tVK(x)- 1 ç)
est une transformation canonique. Il en est de même pour l'application
(x, Ç) 1---+t(X, Ç)
définie en (24) du paragraphe 3.3 donnée par le flot hamiltonien associé au symbole de l'opérateur de Schrodinger.
6. Opérateurs pseudo-différentiels sur le tore
Dans ce dernier paragraphe, nous allons définir les opérateurs
pseudo-différentiels sur le tore et décrire des propriétés de ces opérateurs qui sont utilisées dans le texte de Nalini Anantharaman
(ce volume).
6.1. Définition
Rappelons que le tore en dimension d est le groupe 1'd défini comme
le quotient
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une variété. Il en est de même pour le théorème d'Egorov (théorème 4.2) et ce résultat sera utilisé dans le texte de Nalini Anantharaman (ce volume). Néanmoins, la dépendance temporelle du reste
dans le théorème d'Egorov peut différer du cas euclidien et est fortement reliée à la structure géométrique de la variété M ; il peut par
exemple être exponentiellement grand, en O(lie>.t) pour un certain
À> o.
Nous terminons ce paragraphe par une remarque sur la structure
géométrique de l'espace des phases. Il est usuel de munir l'espace
cotangent T*Rd d'une structure d'espace symplectique par la 2-forme
w = dÇ /\ dx = L dÇi /\ dxi.
l~~d
Une bonne transformation de l'espace des phases est une transformation qui préserve cette structure symplectique. De telles transformations sont appelées transformations symplectiques ou encore transformations canoniques. On peut vérifier que l'application T* K définie
par (voir équation (33))
T*K: (x,Ç) i---+ (K(x), tVK(x)- 1 ç)
est une transformation canonique. Il en est de même pour l'application
(x, Ç) 1---+
définie en (24) du paragraphe 3.3 donnée par le flot hamiltonien associé au symbole de l'opérateur de Schrodinger.
6. Opérateurs pseudo-différentiels sur le tore
Dans ce dernier paragraphe, nous allons définir les opérateurs
pseudo-différentiels sur le tore et décrire des propriétés de ces opérateurs qui sont utilisées dans le texte de Nalini Anantharaman
(ce volume).
6.1. Définition
Rappelons que le tore en dimension d est le groupe 1'd défini comme
le quotient