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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
c'est-à-dire l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation: xf-ly
si et seulement si x -y E (27rZ)d, muni de la loi induite par l'addition
sur JRd. Il existe donc une projection naturelle (qui est un morphisme
de groupe)
7r : IR.d ---+ Td
qui associe à tout réel sa classe d'équivalence dans le tore 'JI'd.
À une fonction f définie sur le tore 'JI'd, on associe la fonction f o 7r
qui est une fonction (27rZ)d-périodique sur JR.d. Réciproquement, une
fonction (27rZ)d périodique sur JR.d définit naturellement une fonction
sur le tore 'JI'd. L'ensemble des fonctions sur 'JI'd est donc en bijection
avec l'ensemble des fonctions (27rZ)d-périodiques sur JRd. Dans la suite
nous utiliserons cette bijection et identifierons les fonctions sur 'JI'd
avec les fonctions (27rZ)d-périodiques.
Considérons maintenant un observable a, c'est-à-dire une fonction
sur l'espace cotangent du tore T*'JI'd = 'JI'd x JR.d et notons encore une
fois kn(x, y) la fonction définie pour x, y E JR.d par
(36)
Remarquons que la fonction a étant à support compact en Ç et du fait
de l'identification ci-dessus, la fonction kn est bien définie et vérifie
(37)
Vx,y E IR.d, Vn E (27rZ)d, kn(x,y) = kn(x+n,y+n).
On définit alors l'opérateur pseudo-différentiel de symbole a par son
action sur les fonctions f E c 0 ('JI'd) par la même formule que dans le
cas euclidien :
(38)
Opn(a)f(x) = f kn(x, y)f(y)dy,
Jad
où, là aussi, on a utilisé l'identification des fonctions sur le tore 'JI'd
aux fonctions de JR.d qui sont 27r-périodiques. Remarquons que pour
tout x E JR.d, la fonction y i-t kn(x, y) est une fonction continue à
décroissance rapide en y; par conséquent, la formule (38) définit bien
un réel pour toute fonction f localement intégrable et bornée, ce
qui est le cas en particulier si f est continue et 27r-périodique. La
proposition suivante nous montre que l'opérateur Opn(a) envoie une
fonction sur le tore en une fonction sur le tore et permet ainsi de
définir le calcul pseudo-différentiel sur le tore.