OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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Proposition 6.1. Soit f E C 0 ('1I'd) et a E C8°('Il'd x JRd), la fonction
x ~ Oph(a)f(x) est une fonction (27rZ)d-périodique que l'on peut
donc identifier à une fonction sur le tore 'Il'd.
Démonstration. Soit x E JRd et n E (27rZ)d, on a
Oph(a)f(x + n) = f kh(x + n, y)f(y)dy.
}e_d
Mais, comme la fonction kh vérifie (37), le changement de variable
y~ y+n donne
Oph(a)f(x + n) = f kh(x + n, y+ n)f(y + n)dy
}e_d
= { k!i,(X, y)f(y + n)dy
}e_d
= f kh(x, y)f(y)dy = Oph(a)f(x)
}e_d
puisque la fonction f est elle aussi (27rZ)d-périodique.
D
Remarque 6.2. On peut aussi décrire l'action de Oph(a) avec un noyau
défini sur 'Il'd x 'll'd :
Vx E 'll'd, Oph(a)f(x) = hd ( L kh(x,y+n))f(y)dy.
nE(211"Z)d
Démonstration. En effet, on va décomposer l'espace JRd en l'union
disjointe d'hypercubes (Cn)nEzd, où pour n E (27rZ)d, on pose
Cn = 27rn + 'll'd.
On écrit alors
Oph(a)f(x) = L l kh(x, y)f(y)dy
nE27l"Zd
n
= L f kh(x, y+ n)f(y + n)dy
}1fd
nE27l"Zd
= hd ( L kh(x,y+n))f(y)dy,
nE27l"Zd
où l'on a fait le changement de variable y ~ y + n et utilisé la
périodicité de f.
D