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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
Il peut être éclairant de voir le lien entre les opérateurs ainsi définis
et l'analyse en coefficients de Fourier que l'on fait classiquement sur
le tore. Pour f E L 2 ('ll'd), l'analyse de Fourier permet d'écrire
f(x) = L Î(k)eik·x avec Î(k) = (27r)-d f f(x)e-ik·xdx.
kezd
}Td
Rappelons la formule de Plancherel et ses conséquences sur le produit
scalaire
2
d" ~ 2
llfllL2('fd) = (27r) L...J llf(k)ll ' u,9) = (27r)d L Î(k)û(k).
kezd
Proposition 6.3. Soit a E C8°('ll'd x JR.d) et
âk(Ç) = (211")-d f a(x,Ç)e-ik·xdx.
}'fd
Alors pour tout f E Y ('H'd),
kezd
(39)
Opn(a)f(x) = L âk-j(~1i(k + j))Î(j)eik·x.
k,jEZd
Démonstration. On part de l'équation (38) dans laquelle on injecte
la formule (36), ce qui donne
Opli(a)f(x) = (211")-d f
a(~(x +y), 1iÇ)eie-(x-y) f(y)dydÇ,
JJRdxJRd
où l'on a fait le changement de variable Ç 1--t 1iÇ. On fait ensui~e
apparaître les coefficients de Fourier dans l'expression de Opn(a)f(x),
en utilisant les formules :
f(y) = L Î(j)eij·y et a(x,Ç) = L ât(Ç)eil·x.
;ezd
tezd
On a donc
Opn(a)f(x) = (211")-dL h Î(j)ât(1iÇ)e~- m2d
;,tezd "'
Une intégration en y fait apparaître la masse de Dirac ô(Ç - j -f/2).
On obtient
Opn(a)f(x) = L Î(j)ât (1i.(j + l/2)) eix·(j+l).
j,lezd