OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
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Le changement d'indice k = j +e donne j +f/2 = (j +k)/2 et permet
d'écrire
Opli.(a)f(x) = L Î(j)âk-j(!n(k + j))eix·k.
D
k,jEZd
La formule (39) est à rapprocher de celles obtenues en utilisant
la formule d'inversion de Fourier pour exprimer les opérateurs de
multiplication en position et en impulsion : soit cp E C8° ('D:'d) et E
C8°(JRd), pour f E L 2 ('D:'d), on a
cp(x)f(x) = L ép(k - j)Î(j)eik·x.
j,kezd
On remarque que Opli.(cp(x)) est bien l'opérateur de multiplication
par cp. Par ailleurs, on a
(1iD)f(x) = L (1ik)Î(k)eik·x,
kezd
ce qui s'écrit aussi
j,kezd
j,kezd
= L (!n(k + j))ôk-iÎ(j)eik·x,
j,kezd
de sorte que
Opli.((Ç)) = (1iD).
La formule (39) fait jouer des rôles symétriques à j et k. Remarquons
qu'il s'agit bien de la quantification de Weyl: si a est à valeurs réelles,
l'opérateur Opli.(a) est auto-adjoint du fait que (k + j)/2 apparait
dans la variable Ç et non k ou j.
6.2. Caractère borné sur L 2 (Td)
On peut utiliser la formule (39) pour démontrer que l'opérateur
Opli.(a) est uniformément borné sur L 2 (Td). On se ramène grâce à
la formule de Plancherel à un résultat sur l'espace f 2 (Z) des suites
de cz de carré sommable et on utilise une version discrète du lemme
de Schur (lemme 2.1).