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CLOTILDE FERMANIAN KAMMERER
Lemme 6.4. Soit P un opérateur défini sur cz par
{40)
Vu= (un)nez, (Pu)n = LAn,tUt.
lEZ
On suppose qu'il existe une constante C > 0 telle que la famille
(An,t)(n,l)ez2 vérifie
L:suplAn,tl < C et L:suplAn,tl < C.
nEZ lEZ
lEZ nEZ
Alors P est un opérateur borné sur l 2 {Z) et llPll2ct2(z)) ~ C.
Ce lemme se démontre de la même manière que le lemme de Schur
sur L 2 {Rd) et nous laissons sa preuve en exercice. On l'utilise en
remarquant que la formule de Plancherel permet de ramener l'étude
de Opli(a) sur L 2 (Td) à l'étude sur .t 2 (Z) de l'opérateur P défini
par ( 40) avec
An,l =ân-t(nn;.e), (n,.e) E Z 2 •
On peut alors appliquer le lemme de Schur et on obtient la proposition
suivante.
Proposition 6.5. Soit a E C[f' (Td x Rd), et C la constante strictement
positive définie par
On a
\;/ n ER~, llOP1ï(a)ll2cL2(1'd)) ~ c.
La famille d'opérateur ( Opli (a)) li>O est donc une famille uniformément bornée de .sf(L 2 (Td)).
6.3. Propriétés
Les opérateurs pseudo-différentiels sur le tore jouissent des mêmes
propriétés que ceux que nous avons définis sur Rd : caractère borné
sur L 2 (Td), calcul symbolique, rôle prédominant de la diagonale dans
le noyau. En revanche, la formule donnant la norme Hilbert-Schmidt
comme l'intégrale du module au carré du symbole est un peu différente du cas euclidien.
Proposition 6.6. Soit a E C[f' (Td x Rd), alors
{41)
llOpli(a)llHs ""li-+O {27rn)-d/ 2 llallL2(JR2d)·