OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES
99
Il faut comparer ce résultat à celui de la proposition 3.1 dans le
cas euclidien. En effet, pour un opérateur pseudo-différentiel sur Rd,
la relation ( 41) est une égalité alors que sur 'll'd, on a seulement un
équivalent.
Démonstration. On utilise la base hilbertienne de 'll'd donnée par les
fonctions ( ek) kEZd,
ek(x) = (27r)-d/2eik·x, k E zd.
La formule de Plancherel donne
llOP/i(a)enlli2(1'd) = L lâk-n (fik + n/2)1 2 .
nEZd
On en déduit
llOp/i(a)ll~s = L lâp(fi(n+p/2))1 2 .
n,pEZd
Par définition des sommes de Riemann,
L: lâp (n (n + p/2n1 2 "'li--+0 n-d L: r lâp(Ç)l 2 dç.
lJR.d
n,pEZd
pEZd
On a donc
llOP/i(a)ll~s "'li--+O (27rn)-d {
la(x,Ç)l 2 dxdÇ,
}1'dxJR.d
où l'on a utilisé encore une fois la formule de Plancherel,
'v'Ç E Rd, (27r)d Lâp(Ç) = r la(x,Ç)l 2 dx.
D
pEZ
}1'd
Références
[AG91)
S. ALINHAC & P. GÉRARD - Opérateurs pseudo-différentiels et théorème
de Nash-Moser, Savoirs Actuels, Inter Editions, Paris; Éditions du Centre
National de la Recherche Scientifique {CNRS), 1991.
[AM14)
N. ANANTHARAMAN & F. MACIÀ - « Semiclassical measures for the Schréidinger equation on the torus », J. Eur. Math. Soc. (JEMS} 16 {2014), no. 6,
p. 1253-1288.
[BFKG12) H. BAHOURI, c. FERMANIAN-KAMMERER & 1. GALLAGHER - Phase-space
analysis and pseudodifferential calculus on the Heisenberg group, Astérisque,
vol. 342, Société Mathématique de France, 2012.
[B027)
M. BORN & R. OPPENHEIMER - « Zur Quantentheorie der Molekeln », Ann.
der Phys. (4) 84 {1927), p. 457-484.
[CV71)
A.-P. CALDER6N & R. VAILLANCOURT - «On the boundedness of pseudodifferential operators », J. Math. Soc. Japan 23 {1971), p. 374-378.
(Dav95)
E. B. DAVIES - Spectral theory and differential operators, Cambridge Studies
in Advanced Mathematics, vol. 42, Cambridge University Press, Cambridge,
1995.
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Il faut comparer ce résultat à celui de la proposition 3.1 dans le
cas euclidien. En effet, pour un opérateur pseudo-différentiel sur Rd,
la relation ( 41) est une égalité alors que sur 'll'd, on a seulement un
équivalent.
Démonstration. On utilise la base hilbertienne de 'll'd donnée par les
fonctions ( ek) kEZd,
ek(x) = (27r)-d/2eik·x, k E zd.
La formule de Plancherel donne
llOP/i(a)enlli2(1'd) = L lâk-n (fik + n/2)1 2 .
nEZd
On en déduit
llOp/i(a)ll~s = L lâp(fi(n+p/2))1 2 .
n,pEZd
Par définition des sommes de Riemann,
L: lâp (n (n + p/2n1 2 "'li--+0 n-d L: r lâp(Ç)l 2 dç.
lJR.d
n,pEZd
pEZd
On a donc
llOP/i(a)ll~s "'li--+O (27rn)-d {
la(x,Ç)l 2 dxdÇ,
}1'dxJR.d
où l'on a utilisé encore une fois la formule de Plancherel,
'v'Ç E Rd, (27r)d Lâp(Ç) = r la(x,Ç)l 2 dx.
D
pEZ
}1'd
Références
[AG91)
S. ALINHAC & P. GÉRARD - Opérateurs pseudo-différentiels et théorème
de Nash-Moser, Savoirs Actuels, Inter Editions, Paris; Éditions du Centre
National de la Recherche Scientifique {CNRS), 1991.
[AM14)
N. ANANTHARAMAN & F. MACIÀ - « Semiclassical measures for the Schréidinger equation on the torus », J. Eur. Math. Soc. (JEMS} 16 {2014), no. 6,
p. 1253-1288.
[BFKG12) H. BAHOURI, c. FERMANIAN-KAMMERER & 1. GALLAGHER - Phase-space
analysis and pseudodifferential calculus on the Heisenberg group, Astérisque,
vol. 342, Société Mathématique de France, 2012.
[B027)
M. BORN & R. OPPENHEIMER - « Zur Quantentheorie der Molekeln », Ann.
der Phys. (4) 84 {1927), p. 457-484.
[CV71)
A.-P. CALDER6N & R. VAILLANCOURT - «On the boundedness of pseudodifferential operators », J. Math. Soc. Japan 23 {1971), p. 374-378.
(Dav95)
E. B. DAVIES - Spectral theory and differential operators, Cambridge Studies
in Advanced Mathematics, vol. 42, Cambridge University Press, Cambridge,
1995.