INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 49
Pour des matrices de grande taille N » 1 Wigner a montré que
(60)
P(s) ~ isexp ( - is 2 ).
Le facteur s qui apparait dans (60) exprime une répulsion des niveauxC28) car un petit écart s « 1 est peu probable. Les calculs
numériques montrent que la distribution des écarts s3 = E3+i - E3
d'un système de chaos quantique vérifie aussi cette loi, voir figure 20.
Voici une conjecture célèbre en chaos quantique basée sur cette observation et sur des considérations heuristiques.
Conjecture 3.7 (loi d'universalité des matrices aléatoires, O.Bohigas et
al. 1984 [BGS84])
À l'échelle 6.E « li/ log( 1 /li), les valeurs propres renormalisées E3 ont les même distributions statistiques que celles d'une matrice aléatoire de l'ensemble G. O.E. donc indépendantes du système.
Densité
de proba ilité
P(s)
Spectre chaotique (Histogramme)
I
Formule de Wigner
Ecart d'énergie s = E;+1 - E;
FIGURE 20. Distributions des écarts de valeurs propres s; =
(E;+t - E;); et formule de Wigner des matrices aléatoires.
3.5. Conclusion
Grâce à l'analyse semi-classique, on peut étudier un problème ondulatoire dans le régime de petites longueurs d'ondes l « L devant
la taille du système (par exemple l'évolution d'ondes quantiques, en
posant li = l / L « 1) en étudiant au préalable la dynamique classique
associée qui est une dynamique de particules.
< 28 >Explication heuristique de la répulsion de niveaux : pour une matrice 2 x 2,
H = ( ~ g), l'écart des valeurs propres est s = ...j(a - b) 2 + c 2 donc s = 0 est
« peu probable » car nécessite les conditions a = b et c = O. Plus précisément, si
x = a - b, y = c alors la mesure dxdy induit la mesure sds. Pour des matrices
hermitiennes on obtiendrait s 2 ds.