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FRÉDÉRIC FAURE
En physique cette loi a de nombreuses applications. Elle permet
de déterminer le rayon des étoiles à neutron ou naines blanches< 26 )
en fonction de leur masse par exemple!
3.4.b. Formule des traces de Gutzwiller [Gut90]. Elle décrit les fluctuations de densité dans le spectre de Opli(H) à l'échelle ÂE ~ G'li
en terme des orbites périodiques du flot. Il n'y a pas d'hypothèse que
la dynamique classique soit chaotique ou pas.
3.4.c. Conjecture des matrices aléatoires. On suppose maintenant un système générique< 27 ) dont la dynamique classique est
chaotique (mélangeante). Cette conjecture décrit le spectre de
Opli(H) à l'échelle ÂE ~ li/ log(l/'li) ou la dynamique des états
pour t » tE. La loi de Weyl (59) nous dit que la densité de valeurs propres (c'est-à-dire le nombre par intervalle d'énergie) est
p := Vol(EE)/(2n'li)d. On considère les valeurs propres recentrées et
renormalisées E; := p · (E; - E) d'un modèle de chaos quantique.
Pour énoncer la conjecture, il nous faut définir :
Dé.finition 3.6. L'ensemble de matrices aléatoires G. 0.E est l'ensemble
des matrices symétriques réelles M = (Mi,j )i,j=l-+N avec la loi de probabilité gaussienne invariante par changement de bases orthogonales
1
dP(M) = z exp(- Tr(M 2 ))dµ(M)
avec
et Z constante de normalisation.
Comme exemple de propriété statistique, considérons l'écart s ~ 0
entre deux valeurs propres consécutives de M. On note P(s)ds la
densité de probabilité induite sur la variable s par la loi dP(M).
< 25 >Le calcul est simple. Par exemple dans 5·10 9 d'années, le Soleil se contractera
en naine blanche composée d'un plasma de carbone et d'oxygène se refroidissant
vers une naine noire. La formule de Weyl prédit un rayon de l'ordre de R ~ 3000km
(celui de la Terre).
< 27 >on connaît des modèles de chaos quantique très particuliers qui ne vérifient
pas cette conjecture : le flot géodésique sur une surface arithmétique, ou le cat
map dans le cas de période courtes [FNDB03].
FRÉDÉRIC FAURE
En physique cette loi a de nombreuses applications. Elle permet
de déterminer le rayon des étoiles à neutron ou naines blanches< 26 )
en fonction de leur masse par exemple!
3.4.b. Formule des traces de Gutzwiller [Gut90]. Elle décrit les fluctuations de densité dans le spectre de Opli(H) à l'échelle ÂE ~ G'li
en terme des orbites périodiques du flot. Il n'y a pas d'hypothèse que
la dynamique classique soit chaotique ou pas.
3.4.c. Conjecture des matrices aléatoires. On suppose maintenant un système générique< 27 ) dont la dynamique classique est
chaotique (mélangeante). Cette conjecture décrit le spectre de
Opli(H) à l'échelle ÂE ~ li/ log(l/'li) ou la dynamique des états
pour t » tE. La loi de Weyl (59) nous dit que la densité de valeurs propres (c'est-à-dire le nombre par intervalle d'énergie) est
p := Vol(EE)/(2n'li)d. On considère les valeurs propres recentrées et
renormalisées E; := p · (E; - E) d'un modèle de chaos quantique.
Pour énoncer la conjecture, il nous faut définir :
Dé.finition 3.6. L'ensemble de matrices aléatoires G. 0.E est l'ensemble
des matrices symétriques réelles M = (Mi,j )i,j=l-+N avec la loi de probabilité gaussienne invariante par changement de bases orthogonales
1
dP(M) = z exp(- Tr(M 2 ))dµ(M)
avec
et Z constante de normalisation.
Comme exemple de propriété statistique, considérons l'écart s ~ 0
entre deux valeurs propres consécutives de M. On note P(s)ds la
densité de probabilité induite sur la variable s par la loi dP(M).
< 25 >Le calcul est simple. Par exemple dans 5·10 9 d'années, le Soleil se contractera
en naine blanche composée d'un plasma de carbone et d'oxygène se refroidissant
vers une naine noire. La formule de Weyl prédit un rayon de l'ordre de R ~ 3000km
(celui de la Terre).
< 27 >on connaît des modèles de chaos quantique très particuliers qui ne vérifient
pas cette conjecture : le flot géodésique sur une surface arithmétique, ou le cat
map dans le cas de période courtes [FNDB03].