INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 47
Régime Semi-classique
Interférences complexes
0
1
e
énergi
f:).E= h /1 .. t
1
î
f:).t« c
f:).E>C.h
Loi de Weyl
c
tE "'log(l/h)
1
j
1
1
[).
te
1
1
1
t
Résol~tion des
C · h
C · h/tE
l C·hd
modes propres
Théorie des orbites P.ériodiques
Théorème d'ergoêlicité quanti e
mps
Conjectures des Matrices aléatoires
FIGURE 19. Échelles de temps-énergie typiques en chaos
quantique, à la limite li ---+ 0 et d'après la relation ll.E · ll.t-::= li.
Ici C désigne une constante arbitraire mais indépendante
de li et tE -::= log(l/li)/logÀ est le temps d'Ehrenfest.
tH = lid-l est le temps d'Heisenberg qui est beaucoup plus
long.
Théorème 3.5 (loi de Weyl, [Zwo12]). Pour tout 0 < a< 1 et li-+ 0,
en posant Vol(EE) := fEE dµE, on a
Idée de preuve. On considère une suite de fonctions Xe : lR -+ lR
qui tendent vers la fonction caractéristique de l'intervalle [E, E +lia)
pour E -+ O. Alors
1 J
lia l
Tr(xe(Opli(H))) = ( 2 li)d Xe(H(x,Ç))dxdÇ = ( 2 li)d
dµE,
(37)
1f
(56)
1f
°EE
et cela donne (59) à la limite E -+ O.
D
L'idée heuristique de la loi de Weyl est que, d'après le principe
d'incertitude, un état quantique occupe le volume (ÂxÂÇ)d ~ (27rli)d
(un quantum) . Ainsi (59) compte le nombre de quanta dans la zone
d'espace des phases H- 1 ([E; E +lia]) dont le volume est liaVol(EE)·
Autrement dit la densité de valeurs propres (c'est-à-dire le nombre
par intervalle d'énergie) est p,...., Vol(EE)/(27rli)d.