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FRÉDÉRIC FAURE
Or Opli(H)'l/J; = E;'l/J; donc U(-t)'l/J; = eitE;/li,,pj et
1(1/J;IOPu(a)'l/J;}I = 1(1/J;IU(t)Opu(a)U(-t),,P;}I.
Ainsi on peut écrire
Ensuite, par Cauchy-Schwartz,
l('l/J;IOPu((ah)'l/J;}l 2 ~ ll0Pu((a}T)'l/J;ll 2
= ~1/J;l(Opu((ah)) 2 1/J;)
= 1/J;l(Opli((a}~))'l/J;) + O(li),
(35)
et
S2(a) ~ ~ ~ ( 1/J;l(Opli( (a~~))'l/J;) + O(li)
3
E;e[E;E+li"'J
1
= ~ Tr(x(Opli(H))(Opli((a}~))) + O(li)
li
1
h 2
=
Vi l(E )
(a}T (x, Ç)dµE + O(li)
(59),(37) 0
E
EE
avec une fonction x caractéristique de l'intervalle (E; E + li 0 ] (en fait
une suite de fonctions C 00 qui l'approche). Finalement on montre que
l'ergodicité (prop. 2.7) implique que fEE (a}~ (x, Ç)dµE --+ O. Cela
T--+oo
permet de déduire (58) en prenant Tassez grand puis li-+ O.
D
3.4. Distribution des valeurs propres
On s'intéresse maintenant aux valeurs propres (E;); de (55) des
opérateurs Opli(H) à la limite li--+ O. Les résultats suivants décrivent
ces spectres à des échelles ÂE de plus en plus fines par rapport à li.
Pour atteindre ces échelles ÂE plus fines, il faut comprendre la dynamique quantique sur des échelles de temps Ât de plus en plus longues,
d'après la relation ÂE·Ât ~li (en effet E, t sont des variables conjuguées de Fourier comme l'atteste e-iEt/li dans (25)). Voir figure 19.
3.4.a. Loi de Weyl. Elle décrit le spectre de Opli(H) à l'échelle
ÂE » li et montre que le nombre de valeurs propres dans un
intervalle d'énergie est proportionnel au volume de l'espace de phase
correspondant. Il n'y a pas d'hypothèse sur la dynamique classique
(chaotique ou pas).