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FRÉDÉRIC FAURE
Cette dynamique classique peut être chaotique c'est-à-dire manifester une forte sensibilité aux conditions initiales. Dans ce cas, les
propriétés de chaos classique ont une forte empreinte sur le comportement ondulatoire et rendent celui-ci très complexe, encore mal
compris. Malgré tout, l'équation des ondes (ou équation de Schrôdinger) est une équation linéaire, et en chaos ondulatoire, la sensibilité
aux conditions initiales s'arrête à l'échelle l. De façon équivalente,
le régime semi-classique c'est-à-dire intervalle de temps pour lequel
la correspondance classique-quantique est valable est t < tE avec
tE = log(l/!i)/ log À étant le temps d'Ehrenfest. Au-delà, il faut utiliser l'heuristique des matrices aléatoires qui est encore sous forme
conjecturale.
Les problématiques du chaos quantique sont très présentes en physique où il y a des phénomènes ondulatoires (l'étude a commencé en
physique nucléaire) et en mathématique : cela concerne tous les modèles mathématiques issus de la physique ondulatoire, mais aussi la
théorie des représentation des groupes et même l'arithmétique, où une
manifestation encore très conjecturale et fascinante serait les statistiques de matrices aléatoires dans la répartition des nombres premiers
et !'Hypothèse de Riemann (voir [Gra03]).
Références
(Ana08)
N. ANANTHARAMAN - « Entropy and the localization of eigenfunctions », Ann.
of Math. (2) 168 (2008), no. 2, p. 435-475.
(AN07)
N. ANANTHARAMAN & S. NONNENMACHER - « Half-delocalization of eigenfunctions for the Laplacian on an Anosov manifold », Ann. Inst. Fourier
(Grenoble} 57 (2007), no. 7, p. 2465-2523.
(Ano69)
D. V. ANOSOV - Geodesic ftows on closed Riemann manifolds with negative curvature., Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 90,
American Mathematical Society, Providence, R.I., 1969.
(Arn76)
V. 1. ARNOLD - Méthodes mathématiques de la mécanique classique, Éditions
Mir, Moscou, 1976.
(BPLB13) R. BACH, D. POPE, S. H. Lrou & H. BATELAAN - « Controlled double-slit
electron diffraction», New Journal of Physics 15 (2013), no. 3, 033018.
(Ba!OO)
V. BALADI - Positive transfer operators and decay of correlations, Advanced
Series in Nonlinear Dynamics, vol. 16, World Scientific Publishing Co., Inc.,
River Edge, NJ, 2000.
(BGS84)
o. BOHIGAS, M.-J. GIANNONI & c. SCHMIT - « Characterization of chaotic
quantum spectra and universality of level fluctuation laws », Phys. Rev. Lett.
52 (1984), no. 1, p. 1-4.
(BDB96) A. BOUZOUINA & S. DE BIÈVRE - « Equipartition of the eigenfunctions of
quantized ergodic maps on the torus », Comm. Math. Phys. 178 (1996),
no. 1, p. 83-105.
FRÉDÉRIC FAURE
Cette dynamique classique peut être chaotique c'est-à-dire manifester une forte sensibilité aux conditions initiales. Dans ce cas, les
propriétés de chaos classique ont une forte empreinte sur le comportement ondulatoire et rendent celui-ci très complexe, encore mal
compris. Malgré tout, l'équation des ondes (ou équation de Schrôdinger) est une équation linéaire, et en chaos ondulatoire, la sensibilité
aux conditions initiales s'arrête à l'échelle l. De façon équivalente,
le régime semi-classique c'est-à-dire intervalle de temps pour lequel
la correspondance classique-quantique est valable est t < tE avec
tE = log(l/!i)/ log À étant le temps d'Ehrenfest. Au-delà, il faut utiliser l'heuristique des matrices aléatoires qui est encore sous forme
conjecturale.
Les problématiques du chaos quantique sont très présentes en physique où il y a des phénomènes ondulatoires (l'étude a commencé en
physique nucléaire) et en mathématique : cela concerne tous les modèles mathématiques issus de la physique ondulatoire, mais aussi la
théorie des représentation des groupes et même l'arithmétique, où une
manifestation encore très conjecturale et fascinante serait les statistiques de matrices aléatoires dans la répartition des nombres premiers
et !'Hypothèse de Riemann (voir [Gra03]).
Références
(Ana08)
N. ANANTHARAMAN - « Entropy and the localization of eigenfunctions », Ann.
of Math. (2) 168 (2008), no. 2, p. 435-475.
(AN07)
N. ANANTHARAMAN & S. NONNENMACHER - « Half-delocalization of eigenfunctions for the Laplacian on an Anosov manifold », Ann. Inst. Fourier
(Grenoble} 57 (2007), no. 7, p. 2465-2523.
(Ano69)
D. V. ANOSOV - Geodesic ftows on closed Riemann manifolds with negative curvature., Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 90,
American Mathematical Society, Providence, R.I., 1969.
(Arn76)
V. 1. ARNOLD - Méthodes mathématiques de la mécanique classique, Éditions
Mir, Moscou, 1976.
(BPLB13) R. BACH, D. POPE, S. H. Lrou & H. BATELAAN - « Controlled double-slit
electron diffraction», New Journal of Physics 15 (2013), no. 3, 033018.
(Ba!OO)
V. BALADI - Positive transfer operators and decay of correlations, Advanced
Series in Nonlinear Dynamics, vol. 16, World Scientific Publishing Co., Inc.,
River Edge, NJ, 2000.
(BGS84)
o. BOHIGAS, M.-J. GIANNONI & c. SCHMIT - « Characterization of chaotic
quantum spectra and universality of level fluctuation laws », Phys. Rev. Lett.
52 (1984), no. 1, p. 1-4.
(BDB96) A. BOUZOUINA & S. DE BIÈVRE - « Equipartition of the eigenfunctions of
quantized ergodic maps on the torus », Comm. Math. Phys. 178 (1996),
no. 1, p. 83-105.