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FRÉDÉRIC FAURE
pour 'fi -+ 0 et pour toute suite d'états 1/J; telle que E; -+ E. On
appelle cette propriété l'unique ergodicité quantique Q.U.E .. Elle a été
démontrée récemment par E. Lindenstrauss dans des cas particuliers
du flot géodésique sur des surfaces arithmétiques à courbure négative
et pour le spectre conjoint de Opli(H) avec un opérateur arithmétique
de Hecke (voir le texte de N. Anantharaman (ce volume) pour plus
de détails). Cette question de Q. U .E. est à l'heure actuelle considérée
comme une question très ouverte en chaos quantique .
• Le théorème d'ergodicité quantique 3.3 n'exclut pas l'existence
d'une suite d'états 1/J;(li) non équidistribués, c'est-à-dire telle que
De tels états stationnaires sont appelés scars (cicatrices) par E. Heller
dans les années 1990. Leur existence donnerait un contre-exemple
à Q.U.E. En physique, ces états ont été observé numériquement
(et expérimentalement) dans certains billards chaotiques [GVZJ91].
Ils sont partiellement concentrés sur des trajectoires périodiques,
mais il n'est cependant pas clair que ces états satisfont à la définition précise précédente. Voir figure 18 ou quantum scars sur google
images .
• Dans le cas de dynamique Anosov, l'existence de scars a été
démontrée seulement dans le modèle particulier du quantum cat map
[FNDB03]. C'est bien un contre-exemple à la conjecture Q.U.E. Il a
été montré que les états stationnaires ne peuvent pas se concentrer totalement sur un nombre fini d'orbites périodiques [FN04].
Voir [Ana08, AN07] pour des résultats de portée générale en terme
d'entropie. L'auteur de ce texte est plutôt sceptique concernant la
conjecture Q.U.E., au vu de ce contre-exemple (bien que particulier). Se pourrait-il que de tels contre-exemples soient de mesure
nulle parmi les modèles de systèmes dynamique mélangeants mais
cependant dense ?
Idée de preuve du théorème d'ergodicité quantique 3.3 (voir le texte
de N. Ananthamman (ce volume})
La fonction a= a- fEE a(x,Ç)dµE vérifie fEE a(x,Ç)dµE = 0 et on
la notera a pour simplifier. On veut montrer que la variance quantique
FRÉDÉRIC FAURE
pour 'fi -+ 0 et pour toute suite d'états 1/J; telle que E; -+ E. On
appelle cette propriété l'unique ergodicité quantique Q.U.E .. Elle a été
démontrée récemment par E. Lindenstrauss dans des cas particuliers
du flot géodésique sur des surfaces arithmétiques à courbure négative
et pour le spectre conjoint de Opli(H) avec un opérateur arithmétique
de Hecke (voir le texte de N. Anantharaman (ce volume) pour plus
de détails). Cette question de Q. U .E. est à l'heure actuelle considérée
comme une question très ouverte en chaos quantique .
• Le théorème d'ergodicité quantique 3.3 n'exclut pas l'existence
d'une suite d'états 1/J;(li) non équidistribués, c'est-à-dire telle que
De tels états stationnaires sont appelés scars (cicatrices) par E. Heller
dans les années 1990. Leur existence donnerait un contre-exemple
à Q.U.E. En physique, ces états ont été observé numériquement
(et expérimentalement) dans certains billards chaotiques [GVZJ91].
Ils sont partiellement concentrés sur des trajectoires périodiques,
mais il n'est cependant pas clair que ces états satisfont à la définition précise précédente. Voir figure 18 ou quantum scars sur google
images .
• Dans le cas de dynamique Anosov, l'existence de scars a été
démontrée seulement dans le modèle particulier du quantum cat map
[FNDB03]. C'est bien un contre-exemple à la conjecture Q.U.E. Il a
été montré que les états stationnaires ne peuvent pas se concentrer totalement sur un nombre fini d'orbites périodiques [FN04].
Voir [Ana08, AN07] pour des résultats de portée générale en terme
d'entropie. L'auteur de ce texte est plutôt sceptique concernant la
conjecture Q.U.E., au vu de ce contre-exemple (bien que particulier). Se pourrait-il que de tels contre-exemples soient de mesure
nulle parmi les modèles de systèmes dynamique mélangeants mais
cependant dense ?
Idée de preuve du théorème d'ergodicité quantique 3.3 (voir le texte
de N. Ananthamman (ce volume})
La fonction a= a- fEE a(x,Ç)dµE vérifie fEE a(x,Ç)dµE = 0 et on
la notera a pour simplifier. On veut montrer que la variance quantique