INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 43
Dire que 't/J; est équidistribué sur la couche d'énergie EE signifie plus
précisément que la valeur de (1/J;IOpli(a)'t/J;} doit être proche de la
moyenne spatiale de a sur EE pour toute observable a. La moyenne
spatiale étant définie par
Vol!EE) kE a(x, Ç)dµE,
où dµE est la mesure de Liouville sur EEi définie par
(56)
dµEdE = dxdÇ
et Vol(EE) := fEE dµE. Bien sûr, d'après la correspondance semiclassique on s'attend à un tel résultat seulement à la limite li --+ O.
Un tel résultat n'est cependant pas connu (sauf dans des modèles
très particuliers). Ce qui s'en approche est le théorème suivant qui
porte sur une moyenne d'états stationnaires sur un petit intervalle
d'énergie [E; E +lia] avec 0
Considérons une énergie E fixée et supposons que le flot hamiltonien de H est ergodique sur la couche d'énergie EE. Pour toute
observable a(x, Ç), pour tout 0 < a < 1, on a
(57) ~ ~ 1 (.P;IOp,( a),P; )- VoltEE) ./,,. a(x, e)dµEI' -;;::!,o
E;E(E;E+li"'J
avec la constante de normalisation JVn := # {j 1 E; E [E; E +lia]}.
Remarque 3.4 .
• On peut interpréter le terme de gauche de (57) comme une variance quantique. C'est une moyenne de JVn termes positifs qui tend
vers zéro pour li --+ 0, par conséquent la plupart des termes de la
somme tendent vers 0 et on formule souvent le théorème d'ergodicité
quantique ( Q.E.) par la plupart des états stationnaires sont équidistribués à la limite semi-classique .
• En 1994 S. Rudnick et P. Sarnak ont conjecturé que pour une
dynamique mélangeante, tous les états stationnaires sans exception
sont équidistribués à la limite semi-classique, c'est-à-dire que
1(1/J;IOpli(a)'t/J;} - Vol!EE) J a(x,Ç)dµEI--+ 0
Dire que 't/J; est équidistribué sur la couche d'énergie EE signifie plus
précisément que la valeur de (1/J;IOpli(a)'t/J;} doit être proche de la
moyenne spatiale de a sur EE pour toute observable a. La moyenne
spatiale étant définie par
Vol!EE) kE a(x, Ç)dµE,
où dµE est la mesure de Liouville sur EEi définie par
(56)
dµEdE = dxdÇ
et Vol(EE) := fEE dµE. Bien sûr, d'après la correspondance semiclassique on s'attend à un tel résultat seulement à la limite li --+ O.
Un tel résultat n'est cependant pas connu (sauf dans des modèles
très particuliers). Ce qui s'en approche est le théorème suivant qui
porte sur une moyenne d'états stationnaires sur un petit intervalle
d'énergie [E; E +lia] avec 0
Considérons une énergie E fixée et supposons que le flot hamiltonien de H est ergodique sur la couche d'énergie EE. Pour toute
observable a(x, Ç), pour tout 0 < a < 1, on a
(57) ~ ~ 1 (.P;IOp,( a),P; )- VoltEE) ./,,. a(x, e)dµEI' -;;::!,o
E;E(E;E+li"'J
avec la constante de normalisation JVn := # {j 1 E; E [E; E +lia]}.
Remarque 3.4 .
• On peut interpréter le terme de gauche de (57) comme une variance quantique. C'est une moyenne de JVn termes positifs qui tend
vers zéro pour li --+ 0, par conséquent la plupart des termes de la
somme tendent vers 0 et on formule souvent le théorème d'ergodicité
quantique ( Q.E.) par la plupart des états stationnaires sont équidistribués à la limite semi-classique .
• En 1994 S. Rudnick et P. Sarnak ont conjecturé que pour une
dynamique mélangeante, tous les états stationnaires sans exception
sont équidistribués à la limite semi-classique, c'est-à-dire que
1(1/J;IOpli(a)'t/J;} - Vol!EE) J a(x,Ç)dµEI--+ 0