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FRÉDÉRIC FAURE
Décrire la répartition des valeurs propres( 24 ) E; E :IR.. Est ce que les
fonctions propres 11/1;1 2 sont équidistribuées? On s'y attend en effet
car on a vu après (25) que ce sont des distributions stationnaires
et, en mécanique classique, une distribution L 2 stationnaire est forcément la mesure d'équilibre d'après la propriété d'ergodicité (2.7).
Voir figure 17.
Ces deux questions sont en fait étroitement liées car on peut exprimer l'évolution d'un état tPt en le développant sur la base des états
propres de Opn, ( H).
Remarque 3.2. Concernant les modèles de dynamique intégrable
[Arn76] c'est-à-dire non chaotique et même très réguliers, il existe
des techniques qui répondent assez bien à ces questions. Par exemple
dans le cas du problème de Kepler (6) (c'est-à-dire atome d'hydrogène) ou de l'oscillateur harmonique (7), des techniques algébriques
basées sur la théorie des groupes permettent de trouver exactement
les valeurs propres E; et les états propres 1/1; (cela est dû aux
symétries particulières du problème).
Considérons maintenant certaines de ces questions en chaos quantique, les réponses connues et les conjectures en cours.
3.3. Êquidistribution des ondes stationnaires. Ergodicité
quantique
L'ergodicité quantique concerne la question d'équidistribution des
fonctions propres 1/1; mentionnée au paragraphe 3.2. Pour caractériser
cela, on a vu que si a(x, Ç) est une fonction sur l'espace des phases
(un symbole), on lui associe un opérateur Opn,(a) appelé observable
qui justement « détecte » certaines propriétés des états quantiques 1/1;
à travers les valeurs moyennes( 25 ) :
< 24 >nans les cas considérés ici on montre que Op/i(H) a un spectre discret de
valeurs propres E; ~ O.
< 25 >Le plus simple est d'imaginer une observable a(x, {) ayant son support dans
un domaine U de l'espace des phases. (1/J;IOp/i(a).,P;} va donc «détecter» la présence de l'état quantique 1/J; dans ce domaine U. Cet exemple amène à l'idée de
représentation d'un état quantique sur l'espace des phases, voir§ 3.1.
FRÉDÉRIC FAURE
Décrire la répartition des valeurs propres( 24 ) E; E :IR.. Est ce que les
fonctions propres 11/1;1 2 sont équidistribuées? On s'y attend en effet
car on a vu après (25) que ce sont des distributions stationnaires
et, en mécanique classique, une distribution L 2 stationnaire est forcément la mesure d'équilibre d'après la propriété d'ergodicité (2.7).
Voir figure 17.
Ces deux questions sont en fait étroitement liées car on peut exprimer l'évolution d'un état tPt en le développant sur la base des états
propres de Opn, ( H).
Remarque 3.2. Concernant les modèles de dynamique intégrable
[Arn76] c'est-à-dire non chaotique et même très réguliers, il existe
des techniques qui répondent assez bien à ces questions. Par exemple
dans le cas du problème de Kepler (6) (c'est-à-dire atome d'hydrogène) ou de l'oscillateur harmonique (7), des techniques algébriques
basées sur la théorie des groupes permettent de trouver exactement
les valeurs propres E; et les états propres 1/1; (cela est dû aux
symétries particulières du problème).
Considérons maintenant certaines de ces questions en chaos quantique, les réponses connues et les conjectures en cours.
3.3. Êquidistribution des ondes stationnaires. Ergodicité
quantique
L'ergodicité quantique concerne la question d'équidistribution des
fonctions propres 1/1; mentionnée au paragraphe 3.2. Pour caractériser
cela, on a vu que si a(x, Ç) est une fonction sur l'espace des phases
(un symbole), on lui associe un opérateur Opn,(a) appelé observable
qui justement « détecte » certaines propriétés des états quantiques 1/1;
à travers les valeurs moyennes( 25 ) :
< 24 >nans les cas considérés ici on montre que Op/i(H) a un spectre discret de
valeurs propres E; ~ O.
< 25 >Le plus simple est d'imaginer une observable a(x, {) ayant son support dans
un domaine U de l'espace des phases. (1/J;IOp/i(a).,P;} va donc «détecter» la présence de l'état quantique 1/J; dans ce domaine U. Cet exemple amène à l'idée de
représentation d'un état quantique sur l'espace des phases, voir§ 3.1.