INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 41
ce serait une distribution de Dirac a = Ô(xo.~o) en (xo, Ço), trop singulière), par conséquent les théorèmes d'Egorov etc. ne sont pas valables. Néanmoins la distribution de Husimi renseigne précisément sur
l'état ' l/J et on l'utilisera dans les illustrations. On retrouve la transformée de Husimi en théorie du signal sous le nom transformée par
ondelettes. Cependant pour pouvoir énoncer les résultats de l'analyse
semi-classique dans la suite, on va considérer des valeurs moyennes
('l/ljlOP!i.(a)'l/lj) où a est un symbole acceptable, c'est-à-dire qui varie
lentement à l'échelle Jh, du paquet d'onde. Cela masquera justement
les fluctuations à l'échelle Jh, que l'on peut observer sur la figure 17.
FIGURE 17. Distribution de Husimi (54) d'états stationnaires du quantum cat map. On observe qu'ils semblent
s'équidistribuer (au sens des distributions) pour li =
1/(27rN) -+ O. C'est cela qui est exprimé dans le théorème
d'ergodicité quantique.
3.2. Deux questions mathématiques de base en chaos quantique
(1) Question d'évolution. Étant donné un état initial ' l/Jo, décrire
son évolution 'l/Jt au temps t, solution de l'équation de Schrôdinger
(17) . En particulier si ' l/Jo est un paquet d'onde localisé en (xo,Ço)
est-ce que 'l/Jt se délocalise et s'équidistribue comme le ferait une distribution classique de probabilité d'après la propriété de mélange ( 48)?
Voir figure 18(b).
(2) Question sur les états stationnaires. On considère l'équation
aux valeurs propres (24) :
(55)
ce serait une distribution de Dirac a = Ô(xo.~o) en (xo, Ço), trop singulière), par conséquent les théorèmes d'Egorov etc. ne sont pas valables. Néanmoins la distribution de Husimi renseigne précisément sur
l'état ' l/J et on l'utilisera dans les illustrations. On retrouve la transformée de Husimi en théorie du signal sous le nom transformée par
ondelettes. Cependant pour pouvoir énoncer les résultats de l'analyse
semi-classique dans la suite, on va considérer des valeurs moyennes
('l/ljlOP!i.(a)'l/lj) où a est un symbole acceptable, c'est-à-dire qui varie
lentement à l'échelle Jh, du paquet d'onde. Cela masquera justement
les fluctuations à l'échelle Jh, que l'on peut observer sur la figure 17.
FIGURE 17. Distribution de Husimi (54) d'états stationnaires du quantum cat map. On observe qu'ils semblent
s'équidistribuer (au sens des distributions) pour li =
1/(27rN) -+ O. C'est cela qui est exprimé dans le théorème
d'ergodicité quantique.
3.2. Deux questions mathématiques de base en chaos quantique
(1) Question d'évolution. Étant donné un état initial ' l/Jo, décrire
son évolution 'l/Jt au temps t, solution de l'équation de Schrôdinger
(17) . En particulier si ' l/Jo est un paquet d'onde localisé en (xo,Ço)
est-ce que 'l/Jt se délocalise et s'équidistribue comme le ferait une distribution classique de probabilité d'après la propriété de mélange ( 48)?
Voir figure 18(b).
(2) Question sur les états stationnaires. On considère l'équation
aux valeurs propres (24) :
(55)