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FRÉDÉRIC FAURE
Un autre modèle aussi très étudié en chaos quantique est le modèle
du quantum cat map c'est-à-dire la version quantique de (51). Voir
[BDB96] [FNDB03].
Dans cette section, on soulève quelques questions que l'on se pose
en chaos quantique puis on mentionne certains résultats et conjectu.res
sur les modèles précédents avec des illustrations. Les preuves détaillées sont données dans les textes de Clotilde Fermanian Kammerer
(ce volume) et Nalini Anantharaman (ce volume).
3.1. Représentation d'un état quantique sur l'espace des
phases
Pour discuter de la dynamique quantique d'un point de vue dynamique classique il faut une formulation dans l'espace des phases (x, Ç).
Nous avons évoqué une façon de le faire qui est d'utiliser les opérateurs pseudo-différentiels Op1i.(a), où a(x,Ç) E .5"(JR 2 d) est un symbole. Alors la valeur moyenne (t/llOP1i.(a)t/I) E lR apporte une information sur l'état 1/1 concernant l'observable a.
Pour détecter la présence d'un état quantique 1/1 au point (xo, Ço) E
JR 2 d de l'espace des phases, « le plus précis » est de considérer le
paquet d'onde gaussien tPxol.o défini en {30) et d'associer l'opérateur
âx 0 ,ç 0 := l1/Jx 0 ,ç 0 )(t/lx 0 ,ç 0 1 qui est le projecteur orthogonal de rang 1 sur
cet état. Alors
est une distribution positive de probabilité( 23 ) sur l'espace des phases
associée à l'état 1/1 appelée distribution de Husimi de l'état ' l/J. Le
problème mathématique est que l'opérateur âx 0 ,ç 0 ainsi défini n'est
pas un opérateur pseudo-différentiel (c'est-à-dire que âx 0 ,ç 0 ne peut
pas s'écrire sous la forme Op1i.(a) avec un symbole a acceptable car
< 23 >n existe une formule de reconstruction d'un vecteur 'l/J quelconque comme superposition de paquets d'ondes tPa:o,Eo :
1
dxoileo
' l/J = R 2 " (tPa:o,Eo l' l/J} tPa:o,Eo ( 2 7r/i)d •
Ainsi une valeur importante de Hus,µ(xo,eo) = l(' l/J,,,0,Eol' l/J}l 2 signifie que l'état 'l/J
a une forte composante sur le paquet d'onde tPa:o,Eo.
FRÉDÉRIC FAURE
Un autre modèle aussi très étudié en chaos quantique est le modèle
du quantum cat map c'est-à-dire la version quantique de (51). Voir
[BDB96] [FNDB03].
Dans cette section, on soulève quelques questions que l'on se pose
en chaos quantique puis on mentionne certains résultats et conjectu.res
sur les modèles précédents avec des illustrations. Les preuves détaillées sont données dans les textes de Clotilde Fermanian Kammerer
(ce volume) et Nalini Anantharaman (ce volume).
3.1. Représentation d'un état quantique sur l'espace des
phases
Pour discuter de la dynamique quantique d'un point de vue dynamique classique il faut une formulation dans l'espace des phases (x, Ç).
Nous avons évoqué une façon de le faire qui est d'utiliser les opérateurs pseudo-différentiels Op1i.(a), où a(x,Ç) E .5"(JR 2 d) est un symbole. Alors la valeur moyenne (t/llOP1i.(a)t/I) E lR apporte une information sur l'état 1/1 concernant l'observable a.
Pour détecter la présence d'un état quantique 1/1 au point (xo, Ço) E
JR 2 d de l'espace des phases, « le plus précis » est de considérer le
paquet d'onde gaussien tPxol.o défini en {30) et d'associer l'opérateur
âx 0 ,ç 0 := l1/Jx 0 ,ç 0 )(t/lx 0 ,ç 0 1 qui est le projecteur orthogonal de rang 1 sur
cet état. Alors
est une distribution positive de probabilité( 23 ) sur l'espace des phases
associée à l'état 1/1 appelée distribution de Husimi de l'état ' l/J. Le
problème mathématique est que l'opérateur âx 0 ,ç 0 ainsi défini n'est
pas un opérateur pseudo-différentiel (c'est-à-dire que âx 0 ,ç 0 ne peut
pas s'écrire sous la forme Op1i.(a) avec un symbole a acceptable car
< 23 >n existe une formule de reconstruction d'un vecteur 'l/J quelconque comme superposition de paquets d'ondes tPa:o,Eo :
1
dxoileo
' l/J = R 2 " (tPa:o,Eo l' l/J} tPa:o,Eo ( 2 7r/i)d •
Ainsi une valeur importante de Hus,µ(xo,eo) = l(' l/J,,,0,Eol' l/J}l 2 signifie que l'état 'l/J
a une forte composante sur le paquet d'onde tPa:o,Eo.