INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 39
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FIGURE 16. Mélange, chaos dans le modèle du cat map
classique : une distribution de points initialement concentrée
près du point fixe instable (0, 0) se disperse selon la direction
instable Eu et converge vers la distribution d'équilibre.
3. Chaos quantique
De façon un peu imprécise, un modèle de chaos quantique est une
dynamique quantique définie par l'équation de Schrôdinger (17) avec
un hamiltonien H tel que le flot classique
même mélangeant).
Nous avons vu que le paradigme (c'est-à-dire modèle privilégié) de
chaos classique hamiltonien est le flot dans un billard dispersif ou
le flot géodésique sur une variété à courbure négative. Dans ces cas,
nous avons vu que le hamiltonien classique est seulement l'énergie
cinétique H(x,f.) = ! llf.11;. On a Opli(H) = -!li 2 ~ donc l'équation
de Schrôdinger s'écrit :
-ilif}'l/J = -li 2 !~n/,
ât
2 'Pl
où li> 0 est un paramètre équivalent à la longueur d'onde, qui nous
servira à fixer l'échelle d'étude. Nous serrons intéressé par la limite
li---+ o.
Remarque 3.1 •
• Dans le cas du flot géodésique sur une variété riemannienne (.;ft,g), le laplacien est celui de Hodge : ~ := -d*d (où d
est la dérivée extérieure) [Taylla, Sec.2.4] . L'espace de Hilbert est
L 2 (.;ft; C) .
• Dans le cas d'un billard la condition de réflexion sur le bord des
obstacles se traduit par exemple par la condition que 'l/J(x) = 0 pour
tout point x sur le bord, appelée condition de Dirichlet.
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FIGURE 16. Mélange, chaos dans le modèle du cat map
classique : une distribution de points initialement concentrée
près du point fixe instable (0, 0) se disperse selon la direction
instable Eu et converge vers la distribution d'équilibre.
3. Chaos quantique
De façon un peu imprécise, un modèle de chaos quantique est une
dynamique quantique définie par l'équation de Schrôdinger (17) avec
un hamiltonien H tel que le flot classique
même mélangeant).
Nous avons vu que le paradigme (c'est-à-dire modèle privilégié) de
chaos classique hamiltonien est le flot dans un billard dispersif ou
le flot géodésique sur une variété à courbure négative. Dans ces cas,
nous avons vu que le hamiltonien classique est seulement l'énergie
cinétique H(x,f.) = ! llf.11;. On a Opli(H) = -!li 2 ~ donc l'équation
de Schrôdinger s'écrit :
-ilif}'l/J = -li 2 !~n/,
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où li> 0 est un paramètre équivalent à la longueur d'onde, qui nous
servira à fixer l'échelle d'étude. Nous serrons intéressé par la limite
li---+ o.
Remarque 3.1 •
• Dans le cas du flot géodésique sur une variété riemannienne (.;ft,g), le laplacien est celui de Hodge : ~ := -d*d (où d
est la dérivée extérieure) [Taylla, Sec.2.4] . L'espace de Hilbert est
L 2 (.;ft; C) .
• Dans le cas d'un billard la condition de réflexion sur le bord des
obstacles se traduit par exemple par la condition que 'l/J(x) = 0 pour
tout point x sur le bord, appelée condition de Dirichlet.