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FRÉDÉRIC FAURE
X2
X2
1
14
5 • •
~ 3 •
1
•
0
1 Xl
(b)
(c)
FIGURE 15. (a) Trajectoire du point initial (-0.3, 0.6) sous
l'application f du cat map, sur JR. 2 (la trajectoire est sur
une hyperbole). (b) Après la restriction modulo 1 sur T 2 ,
presque toute trajectoire semble imprévisible, chaotique.
(c) Les pentes des directions stables E8 et instables Eu sont
irrationnelles et ainsi ces droites sont denses sur T 2 •
o.s
Si k f:. 0 alors ltM-n k 1 --+ oo lorsque n --+ +oo car M est hyperbolique. Donc (53) devient nul pour n assez grand. Finalement une
fonction lisse u E C 00 (' 1l' 2 ) a des coefficients de Fourier (uk)k qui
décroissent très vite : si u = Ek 'Uk'Pk alors
CN
lukl ~ (lkl + l)N.
De même pour V E C 00 (' 1l' 2 ). En utilisant (53) on a
{ V· (u o 1-n)dx = L Vt'UkÔtM-nk=l·
}M
k
Or ltM-nkl ~ C>..n croît exponentiellement donc avec l = tM-nk et k
fixé on a
I V 1 ~ CN ~ Civ = C' e-n(Nlog>.)
l "'o: (Ill + l)N "'o: )..nN
N
pour tout N. On déduit (52). Le terme constant J vdx J udx = vouo
provient des composantes k = l = 0 qui ne fuient pas à l'infini. D
Remarque 2.9. La preuve ci-dessus (son idée) s'adapte bien au cas des
flots Anosov mais en utilisant une décomposition de Fourier locale sur
la variété. Pour cela on utilise l'analyse semi-classique [FRS08, FSll,
Tsu12].
FRÉDÉRIC FAURE
X2
X2
1
14
5 • •
~ 3 •
1
•
0
1 Xl
(b)
(c)
FIGURE 15. (a) Trajectoire du point initial (-0.3, 0.6) sous
l'application f du cat map, sur JR. 2 (la trajectoire est sur
une hyperbole). (b) Après la restriction modulo 1 sur T 2 ,
presque toute trajectoire semble imprévisible, chaotique.
(c) Les pentes des directions stables E8 et instables Eu sont
irrationnelles et ainsi ces droites sont denses sur T 2 •
o.s
Si k f:. 0 alors ltM-n k 1 --+ oo lorsque n --+ +oo car M est hyperbolique. Donc (53) devient nul pour n assez grand. Finalement une
fonction lisse u E C 00 (' 1l' 2 ) a des coefficients de Fourier (uk)k qui
décroissent très vite : si u = Ek 'Uk'Pk alors
CN
lukl ~ (lkl + l)N.
De même pour V E C 00 (' 1l' 2 ). En utilisant (53) on a
{ V· (u o 1-n)dx = L Vt'UkÔtM-nk=l·
}M
k
Or ltM-nkl ~ C>..n croît exponentiellement donc avec l = tM-nk et k
fixé on a
I V 1 ~ CN ~ Civ = C' e-n(Nlog>.)
l "'o: (Ill + l)N "'o: )..nN
N
pour tout N. On déduit (52). Le terme constant J vdx J udx = vouo
provient des composantes k = l = 0 qui ne fuient pas à l'infini. D
Remarque 2.9. La preuve ci-dessus (son idée) s'adapte bien au cas des
flots Anosov mais en utilisant une décomposition de Fourier locale sur
la variété. Pour cela on utilise l'analyse semi-classique [FRS08, FSll,
Tsu12].