INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 37
2.3. Modèle simple du cat map qui est mélangeant (et ergodique)
Le modèle simplifié suivant consiste à étudier la dynamique définie
par une unique matrice hyperbolique et agissant sur le tore (qui est
compact) afin d'avoir les processus « étirement » et « repliement »
évoqués plus haut. Considérons la matrice
(50)
M=(~ ~),
qui est hyperbolique car ses valeurs propres sont de module différent
de 1:
3+v'5
À=Àu=
2
~2.6>1, À8 =À- 1 <1.
Les directions propres associées sont Eu, E 8 introduites en ( 42).
La matrice M définit une dynamique sur IR 2 par x i-+ Mx. Elle
définit< 22 ) aussi une dynamique sur le tore 'f 2 = (IR/Z) 2 :
. { rr2 := IR2 ;z2 --+ rr2
(51)
f
2
·
x
t---+ Mx mod Z .
Voir figure 15.
Le théorème suivant montre que la dynamique ducat map (51) est
très chaotique :
Théorème 2.8. Le cat map f : 'f 2 -t 'f 2 est mélangeant à taux superexponentiel: Va> O, Vu,v E C 00 (M), 3C > 0, pour n -t +oo,
(52)
l .h. 2 V· (u O j-n)dx - f vdx f udxl ~Ce-an.
Démonstration. Soit a > 0 et k, l E Z 2 • Soit cpk(x) := exp(i27rk · x)
un mode de Fourier. Alors
.h, 2 cpz · (cpkof-n)dx = j exp (i27r(k · M-nx - l · x))dx
= j exp (i27r(tM-nk - l) · x)dx = ÔtM-"k=l·
(53)
< 22 >nu fait que la matrice M est à coefficient entiers, l'application f est bien
définie : car si n E Z 2 , x E IR 2 alors
M(x+n) =Mx+ Mn= MxmodZ 2 •
~
ez2
De plus le fait que dét(M) = 1 implique que f est inversible sur 'll' 2 et 1- 1 (x) =
M- 1 x avec M- 1 E SL2(Z).