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FRÉDÉRIC FAURE
fonction (observable) v. (Dans certains ouvrages, on appelle fonction
de corrélation toute l'expression f M v · (u o-t)dx - f vdx · J udx.)
• La propriété de mélange ( 48) signifie perte d'information car pour
t -t oo, u o-t normalisé par (f udx)- 1 converge (au sens des distributions) vers la mesure dx. L'ergodicité signifie que la moyenne
temporelle de u, i.e. ~ J{ uo-tdt normalisée par (f udx)- 1 converge
(au sens des distributions) vers la mesure dx. On dit que dx est la
mesure d'équilibre .
• Comparer la définition d'ergodique (49) à uniquement ergodique (9) : dans (9) on peut fixer n'importe quelle condition
initiale xo (cela revient à prendre une distribution de Dirac v = Ôx 0
dans (49)). L'unique ergodicité implique l'ergodicité.
mélange ===? ergodique {:= uniquement ergodique
• On a vu que la propriété de mélange n'est pas vraie pour les
translations irrationnelles sur le tore .
• L'unique ergodicité n'est pas vraie pour les flots géodésiques Anosov, car il y a des orbites périodiques.
La propriété suivante est en fait une définition plus standard
d'ergodique.
Proposition 2. 7. Le flott préservant la mesure dx est ergodique si et
seulement si toute fonction L 2 stationnaire est constante (c'est-à-dire
(u E L 2 (M) et Vt, u = _2'tu) => u =este). De façon équivalente si
et seulement si tout ensemble mesurable Ac M tel que _2't(A) =A
(c'est-à-dire invariant) vérifie Vol(A) = 0 ou Vol(A) = Vol(M).
Démonstration. Considérons le sous-espace des fonctions L 2 stationnaires:
lnv := {u E L 2 (M) 1 Vt E IR, 2tu = u} c L 2 (M).
Von Neumann (1932) a montré que [Cou12, p. 10] :
P= lim Tl {T ~dt
T-too
Jo
converge fortement et que la limite P est le projecteur orthogonal sur
Inv (c'est aussi le projecteur spectral de 2t sur la valeur propre 1,
pour tout t E IR). Ainsi
Flot ergodique {::::::::} P = ( •, 1) ( 1, •) {::::::::} Inv = { u = este} . 0
(49)
FRÉDÉRIC FAURE
fonction (observable) v. (Dans certains ouvrages, on appelle fonction
de corrélation toute l'expression f M v · (u o
• La propriété de mélange ( 48) signifie perte d'information car pour
t -t oo, u o
temporelle de u, i.e. ~ J{ uo
(au sens des distributions) vers la mesure dx. On dit que dx est la
mesure d'équilibre .
• Comparer la définition d'ergodique (49) à uniquement ergodique (9) : dans (9) on peut fixer n'importe quelle condition
initiale xo (cela revient à prendre une distribution de Dirac v = Ôx 0
dans (49)). L'unique ergodicité implique l'ergodicité.
mélange ===? ergodique {:= uniquement ergodique
• On a vu que la propriété de mélange n'est pas vraie pour les
translations irrationnelles sur le tore .
• L'unique ergodicité n'est pas vraie pour les flots géodésiques Anosov, car il y a des orbites périodiques.
La propriété suivante est en fait une définition plus standard
d'ergodique.
Proposition 2. 7. Le flot
seulement si toute fonction L 2 stationnaire est constante (c'est-à-dire
(u E L 2 (M) et Vt, u = _2'tu) => u =este). De façon équivalente si
et seulement si tout ensemble mesurable Ac M tel que _2't(A) =A
(c'est-à-dire invariant) vérifie Vol(A) = 0 ou Vol(A) = Vol(M).
Démonstration. Considérons le sous-espace des fonctions L 2 stationnaires:
lnv := {u E L 2 (M) 1 Vt E IR, 2tu = u} c L 2 (M).
Von Neumann (1932) a montré que [Cou12, p. 10] :
P= lim Tl {T ~dt
T-too
Jo
converge fortement et que la limite P est le projecteur orthogonal sur
Inv (c'est aussi le projecteur spectral de 2t sur la valeur propre 1,
pour tout t E IR). Ainsi
Flot ergodique {::::::::} P = ( •, 1) ( 1, •) {::::::::} Inv = { u = este} . 0
(49)