INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 35
mieux les propriétés chaotiques de la dynamique comme le montre le
théorème suivant et la figure 14.
Théorème 2.5 (Anosov). Un flot géodésique Anosov est mélangeant :
Vu, VE C 00 (M), pour t -t OO on a
(48)
l /M v · (u o Cela implique la propriété d'ergodicité : Vu, v E C 00 ( M),
(49)
J!..+m 00 ~ kT ( JM v · (u o La preuve du mélange est ancienne (Anosov 1967 [Ano69]). Sinaï
l'a montré pour les billards dispersifs. La preuve du mélange à taux
exponentiel est récente [Dol98, Liv04, TsulO). En prenant la moyenne
temporelle de la propriété de mélange (48) on déduit l'ergodicité (49)
(avec le théorème de Cesàro).
u
FIGURE 14. Fonction de corrélation
V
'observable'
Cv,u(t) = JM V· (u o -t)dx
et mélange : Cv u(t) ---+ JM vdx · JM udx.
'
t~+oo
Remarque 2.6 .
• Le terme
Cv,u(t) := JM v · (u o dans ( 48) s'appelle fonction de corrélation. C'est simplement un élément de matrice de l'opérateur d'évolution zt qui correspond à la
fonction u évoluée par le flot : .sftu = u o