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FRÉDÉRIC FAURE
Remarque 2.4 •
• On aperçoit la difficulté dans le cas du billard dispersif qui est
que pour œ = Tr/2 (rebond rasant), on a A= Amax = oo .
• Dans le cas du flot géodésique sur une variété lisse à courbure
négative, il n'y a pas cette singularité (Amax < oo) et des expressions
(46) et (47) on peut déduire que :z:o -+ Eu,s(œo) sont des fonctions
HOlder continues (mais C 2 en aucun point), tout comme la fonction
de Weierstrass [Fal03, chap.11].
2.1.e. Principe d'incertitude quantique et instabilités. Reprenons la
discussion qualitative (et physique) liée au principe d'incertitude (31).
Considérons un objet quantique dans un billard dispersif (par exemple
une boule de loto qui rebondit dans la machine). Sim!:::::'. lüg. alors
l:J.x · l:J.v = 1i/m ~ 10- 36 m 2 /s est très petit. Un compromis pour
minimiser chaque terme du produit est l:J.x ~ 10- 18 m et l:J.v !: : : : : ' .
10- 18 m/s. Pour simplifier la discussion, supposons une amplification exponentielle des incertitudes avec le temps, comme (44), par
le facteur l:J.x(t) !: : : : : ' . 10t/r !:J.x(O) avec un temps caractéristique r ,....., ls.
Alors la taille de l'incertitude quantique devient !:J.x(t) !: : : : : ' . lm après
t !: : : : : ' . ls seulement ! Cela montre que pour les phénomènes chaotiques,
le hasard quantique bien que d'origine microscopique, a une influence
à notre échelle macroscopique< 21 ).
2.2. Un flot géodésique Anosov est mélangeant (et ergodique)
On a vu l'instabilité des trajectoires qui s'exprime par des matrices
hyperboliques comme (45). Il faut aussi noter que la couche d'énergie EE est compacte. La dynamique a donc pour effet d' « étirer » et
« replier » les données initiales. Cette succession de processus est le
plus efficace pour mélanger les données initiales comme le ferait un
boulanger pour mélanger le beurre dans une pâte feuilletée. Avec ce
mélange, tout ensemble de données initiales (suffisamment lisse) va
s'équidistribuer et converger (au sens des distributions) vers une mesure d'équilibre. C'est cette propriété appelée mélange qui exprime le
< 21 >cependant l'onde quantique n'apparaît pas à notre échelle, car la décohérence
(processus de mesure avec l'environnement) intervient bien avant.
FRÉDÉRIC FAURE
Remarque 2.4 •
• On aperçoit la difficulté dans le cas du billard dispersif qui est
que pour œ = Tr/2 (rebond rasant), on a A= Amax = oo .
• Dans le cas du flot géodésique sur une variété lisse à courbure
négative, il n'y a pas cette singularité (Amax < oo) et des expressions
(46) et (47) on peut déduire que :z:o -+ Eu,s(œo) sont des fonctions
HOlder continues (mais C 2 en aucun point), tout comme la fonction
de Weierstrass [Fal03, chap.11].
2.1.e. Principe d'incertitude quantique et instabilités. Reprenons la
discussion qualitative (et physique) liée au principe d'incertitude (31).
Considérons un objet quantique dans un billard dispersif (par exemple
une boule de loto qui rebondit dans la machine). Sim!:::::'. lüg. alors
l:J.x · l:J.v = 1i/m ~ 10- 36 m 2 /s est très petit. Un compromis pour
minimiser chaque terme du produit est l:J.x ~ 10- 18 m et l:J.v !: : : : : ' .
10- 18 m/s. Pour simplifier la discussion, supposons une amplification exponentielle des incertitudes avec le temps, comme (44), par
le facteur l:J.x(t) !: : : : : ' . 10t/r !:J.x(O) avec un temps caractéristique r ,....., ls.
Alors la taille de l'incertitude quantique devient !:J.x(t) !: : : : : ' . lm après
t !: : : : : ' . ls seulement ! Cela montre que pour les phénomènes chaotiques,
le hasard quantique bien que d'origine microscopique, a une influence
à notre échelle macroscopique< 21 ).
2.2. Un flot géodésique Anosov est mélangeant (et ergodique)
On a vu l'instabilité des trajectoires qui s'exprime par des matrices
hyperboliques comme (45). Il faut aussi noter que la couche d'énergie EE est compacte. La dynamique a donc pour effet d' « étirer » et
« replier » les données initiales. Cette succession de processus est le
plus efficace pour mélanger les données initiales comme le ferait un
boulanger pour mélanger le beurre dans une pâte feuilletée. Avec ce
mélange, tout ensemble de données initiales (suffisamment lisse) va
s'équidistribuer et converger (au sens des distributions) vers une mesure d'équilibre. C'est cette propriété appelée mélange qui exprime le
< 21 >cependant l'onde quantique n'apparaît pas à notre échelle, car la décohérence
(processus de mesure avec l'environnement) intervient bien avant.