INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 33
Par conséquent< 20 >, MR,o.,L a deux valeurs propres réelles l, l- 1 avec
l > 1 appelé coefficient d'instabilité de Lyapounov. On dit que MR,o.,L
est une matrice hyperbolique.
Pour un vecteur Cf) E R. 2 , notons sa pente p = i/x ER.==: lP'(R. 2 )
qui représente sa direction et notons p' = [MR,a,L] (p) = A+~~1;"l)p
l'action de MR,o.,L sur les directions. L'observation importante est que
l'intervalle p E [O, +oo] est envoyé sur l'intervalle p' E [Amin, +oo] et
d [MR,a,L] (p) =
1
< l
dp
(l+Lp)2
'
autrement dit cet intervalle est strictement contracté, voir figure
13(c).
Considérons maintenant une suite de points Xk = (xk, Yki fJk) E M,
k E Z, sur une même trajectoire, telle que Xk+i = tk(œk) soit une
propagation suivit d'une réflexion comme précédemment. Alors la
direction instable Eu(œo) C Tx 0 M au point œo est donnée par l'opération suivante. Tout d'abord Eu(œ0 ) est orthogonale à la direction
de propagation Eo(œo), et en confondant Eu(œo) avec la pente p dans
le plan (x, i) précédent, en utilisant la trajectoire dans le passé, on a
(46) Eu(œo)
= N~~ 00 (MR,o.,L)(œ-1) · (MR,a,L)(œ-2) · · · (MR,o.,L)(œ-N)Po,
où Po E (0, +oo) est une direction initiale quelconque. Du fait de
la contraction stricte, la convergence est exponentielle. De même, en
utilisant les points Xk futurs on obtient
partant d'une direction initiale Po E (-oo, 0) quelconque. De plus on
a l'estimation
L
1
1
À ~ 2Lmin ~ 1+2LminÂmin1
soit À~ (1 + ~LminÂmin) 1 /Lmax > 1.
On a ainsi identifié les directions stables et instables Es, Es qui
entrent dans la décomposition (42).
< 20 >si M = ( ~ ~) est une matrice avec T = Tr(M) > 2 et dét(M) = 1 alors ses
valeurs propres sont À± = ~(T + .,/T 2 - 4) vérifiant 0 <À- = Xj: 1 < 1 <À+.